佩多不等式

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幾何學佩多不等式,係關連兩個三角形不等式,以唐。佩多(Don Pedoe)嚟命名。

呢個不等式指出:如果第一個三角形嘅邊長係 a,b,c面積f,第二個三角形嘅邊長係 A,B,C面積F,咁:

A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff

等式成立 IF AND ONLY IF 兩個三角形係一對相似三角形,對應邊成比例;
亦即係 a/A=b/B=c/C

證明[編輯]

    • 海倫公式,兩個三角形嘅面積可用邊長表示為
16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)
16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4),
再由柯西不等式
16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2
\leq \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}
= (a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)
於是,
16Ff\leq  A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2
=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2) ,命題得到咗證實。

等號成立 IF AND ONLY IF a/A=b/B=c/C=\sqrt{f/F} ,亦都即係話兩個三角形相似。


    • 幾何證法

三角形嘅面積同邊長嘅平方成正比,所以喺要證明嘅果條式嘅兩邊都乘以一個系數 \lambda^2,使到 \lambda A = a,幾何意義係將第二個三角形取相似。

假設呢個時候 A、B、C 變成 x、y、z,F 變成 F'。
考慮 AA' 嘅長度。由余弦公式,
AA'^2=AB^2+BA'^2-2AB \cdot BA' \cos (\angle B-\angle B')
=c^2+z^2-2cz(\cos \angle B \cos \angle B'+\sin \angle B \sin \angle B')

\cos \angle B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} , \cos \angle B' = \frac{x^2+z^2-y^2}{2xz},\sin \angle B = \frac{2f}{ac}, \sin \angle B' = \frac{2F'}{xz}代入就變成:

0\leq AA'^2=c^2+z^2-2cz(\frac{(a^2+c^2-b^2)(x^2+z^2-y^2)}{4acxz}+\frac{4F'f}{acxz})
兩邊化簡咗之後同時乘以 \frac{1}{\lambda^2},並注意到 a = x,就可得到原不等式。
等號成立 IF AND ONLY IF A 同 A' 重合,即兩個三角形相似。