佩多不等式

幾何學嘅佩多不等式，係關連兩個三角形嘅不等式，以唐。佩多(Don Pedoe)嚟命名。

呢個不等式指出：如果第一個三角形嘅邊長係 $a,b,c$，面積係 $f$，第二個三角形嘅邊長係 $A,B,C$，面積係 $F$，咁：

$A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff$，

等式成立 IF AND ONLY IF 兩個三角形係一對相似三角形，對應邊成比例；
亦即係 $a/A=b/B=c/C$。

證明

• • 由海倫公式，兩個三角形嘅面積可用邊長表示為

$16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)$

$16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4)$,

再由柯西不等式，

$16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2$

$\leq \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}$

$= (a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)$

於是，

$16Ff\leq A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2$

$=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)$ ，命題得到咗證實。

等號成立 IF AND ONLY IF $a/A=b/B=c/C=\sqrt{f/F}$ ，亦都即係話兩個三角形相似。

• • 幾何證法

三角形嘅面積同邊長嘅平方成正比，所以喺要證明嘅果條式嘅兩邊都乘以一個系數 $\lambda^2$，使到 $\lambda A = a$，幾何意義係將第二個三角形取相似。

假設呢個時候 A、B、C 變成 x、y、z，F 變成 F'。

考慮 AA' 嘅長度。由余弦公式，

$AA'^2=AB^2+BA'^2-2AB \cdot BA' \cos (\angle B-\angle B')$

$=c^2+z^2-2cz(\cos \angle B \cos \angle B'+\sin \angle B \sin \angle B')$

將$\cos \angle B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} , \cos \angle B' = \frac{x^2+z^2-y^2}{2xz}$,$\sin \angle B = \frac{2f}{ac}, \sin \angle B' = \frac{2F'}{xz}$代入就變成：

$0\leq AA'^2=c^2+z^2-2cz(\frac{(a^2+c^2-b^2)(x^2+z^2-y^2)}{4acxz}+\frac{4F'f}{acxz})$

兩邊化簡咗之後同時乘以 $\frac{1}{\lambda^2}$，並注意到 a = x，就可得到原不等式。

等號成立 IF AND ONLY IF A 同 A' 重合，即兩個三角形相似。