幺半範疇

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幺半範疇(monoidal category)係有二元運算(「乘積」)嘅範疇,可以當做幺半羣範疇化

一種常見嘅幺半範疇係張量範疇:渠同時有直和同張量積,可當做環嘅範疇化。

定義[編輯]

定義[1]

張量範疇係序列 (C, ◇ , α,1, λ ρ ),其中

  • C 係一範疇
  • ◇ 係雙函子 (en:bifunctor): C x C ---> C: (U,V)|--->U◇V;
  • αU,V,W: (U◇V)◇W ---> U◇(V◇W) 係一系列自然態射 (natural isomorphism),叫結合態射 (associativity morphism / associativity constraint);
  • 1係 C 中一物,叫「單位物」;
  • λU: 1◇ U ---> U;其中 U 係 C 中物; 係一系列自然態射 (natural isomorphism)
  • 同樣,ρ V : V◇1--->V 係一系列自然態射;

同時,呢的結構符合:

  • 五角型公理:


  • 單位公理:

  • C, C' 係兩幺半範疇
定義

幺半函子Φ:C--->C' 係一函子,保存住 C、C' 上兩種幺半結構。

Grothendieck羣[編輯]

嚴幺半範疇 (strict monoidal category)[編輯]

嚴幺半範疇 (strict monoidal category)[2] 係一幺半範疇,其中全部 ρ 同λ 態射都係恆等態射。

MacLane 一致性定理 (MacLane coherence theorem) [3]話:每幺半範疇都等價於一嚴幺半範疇。

剛性(rigidity)[編輯]

重構定理[編輯]

參閱:田中-Krein對偶律
一般,若果有一Hopf代數,渠嘅表示形成一剛幺半範疇。

掉返轉頭,由一剛幺半範疇,我地可重構番個Hopf 代數。[4]

  • r 係交換環
  • M 係 r 上有限生成嘅射影模(projective modules)組成嘅範疇(例如:若 r 係一域,咁 M 入面嘅模就係 r 上嘅有限維線性空間);
  • C 係範疇,基本上係細嘅 (即:C 等價於一細範疇);
    • C 係 r-線性範疇;
    • C 係剛硬阿貝爾幺半範疇;
  • F : C---> M 係一正合(exact) 、忠實(faithful)、r-線性嘅幺半函子;

咁就

  • 存在r 上嘅 Hopf代數 A 同埋 r-線性嘅 範疇 同構 C--->corepA,令到 (C--->corepA --->M) = F
    • 其中 corep 係 r-射影、有限生成嘅 A-逆模(A-en:comodules)組成嘅範疇,
    • corep ---> M 係無記性函子(forgetful functor)。


對偶物 (dual object)[編輯]

[編輯]

[5]

辮範疇[編輯]

braid

纏繞[編輯]

纏繞 有向纏繞 絲帶纏繞

(擬)張量範疇 [(quasi-)tensor category][編輯]

張量範疇[編輯]

[6]

擬張量範疇[編輯]

[7]

融合環(fusion ring)[編輯]

[8]

絲帶紐結不變量[編輯]

[9]

Jones多項式[編輯]

[10]



[編輯]

  • Saunders MacLane (1997),《Categories for the Working Mathematician》, (第二版;第一版 1971年), Springer Verlag, ISBN 0-387-98403-8 , pp.161-...
  • Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley, 《A Guide to Quantum Groups》, 劍橋,ISBN 0-521-55884-0 , pp.136-...
  1. MacLane, p.161-; Chari/Pressley p.138-
  2. MacLane, p.161
  3. MacLane, p.257, Chari/Pressley, p.139
  4. Chari/Pressley, p.147-
  5. Chari/Pressley, pp.143-
  6. Chari/Pressley pp.149...
  7. Chari/Pressley p.152
  8. Chari/Pressley p.155
  9. Chari/Pressley p.161
  10. Chari/Pressley p.168