楊振寧－米爾斯規範場論同質量間隙

Millennium Prize Problems
P versus NP
The Hodge conjecture
The Poincaré conjecture
The Riemann hypothesis
Yang–Mills existence and mass gap
Navier-Stokes existence and smoothness
The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

《楊振寧－米爾斯規範場論同其質量間隙》係理論物理中規範場論嘅一道基礎問題。

自從2000年，麻省波士頓嘅Clay 數學院為七道數學難題各擺咗一百萬蚊上檯；其中一道題為楊振寧－米爾斯規範場論同質量間隙－－要求大家響數學上嚴格證明楊振寧－米爾斯場論 (en:Yang-Mills gauge theory)存在（即係要符合構造性量子場論嘅標準），同埋證明渠有質量間隙。即係話，模型中最輕嘅單粒子態要有正質量。

背景

我地所知多數非凡(nontrivial)－－即係有相互作用－－嘅4維量子場論都係有cutoff scale 嘅有效場論。 因多數模型嘅beta-函數都係正嘅，似乎大多數呢類模型都有支Landau pole，因我地完全唔清楚渠地有無非凡紫外定點。故此，若每一scale上都定義有咁樣嘅量子場論，, 渠只可能係單純嘅自由場論。

然而， 有唔交換嘅結構羣嘅 量子楊振寧－米爾斯理論 （無夸克）就例外。渠有種性質叫漸近自由，指渠有一單純嘅紫外定點。因此，我地可以寄望渠成為非凡嘅構造性(constructive)四維量子場模型。

唔交換羣Yang-Mills 理論嘅色禁閉性(en:colour confinement)已經有符合理論物理嚴謹性嘅證明，但未有符合數理物理嚴謹性嘅證明。基本上，咁即係話，過咗QCD 尺度， （或者呢度應該叫禁閉尺度，因為無夸克），啲色賀粒子被色動力學嘅「流管」連埋，所以粒子間有線性勢（「弦」張力 x 長度）。所以膠子之類自由賀粒子就無可能存在。若無咗呢種禁閉效應，我地應見到零質量嘅膠子；但因渠地被禁閉，我地只見到唔帶色賀嘅膠子束綁態－－ 膠波。全部膠波都有質量，此所以質量間隙。

格仔規範場論嘅結果令好多工作者相信，呢個模型真係有禁閉現象（ 由Wilson 圏嘅真空期望值 嘅下降嘅「面積規律」(area law) 睇出），但呢項結果重未符合數學嘅嚴慬性。

連出去

• The Millennium Prize Problems: Yang–Mills and Mass Gap
• Quantum Yang-Mills theory - description of the question