比例

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比例粵讀bei2 lai6)係一個數學名詞,喺唔同地方有唔同解釋。

基本含義[編輯]

如果有兩個變量,其中一個始終係另外一個嘅 k 倍(即係話 k常數),而且 k\neq0,噉爾兩個量就叫做成比例,而且 k 叫做比例常數

比例常數同兩個量嘅次序有關,例如周長直徑成比例,比例常數係 \pi,而反過來直徑亦同周長成比例,比例常數係 1/\pi

比例式[編輯]

相關概念[編輯]

表示四個量 a,b,c,d 之間關係嘅等式 a:b=c:d 叫比例式,其中同英文冒號一樣嘅符號叫做比號,表示除法

比例式亦可以寫成分數嘅形式:

\frac ab=\frac cd

喺比例式 a:b=c:d 道,a,d 叫做比例外項b,c 叫做比例內項

如果兩個比例內項相等,即係比例式係 a:b=b:c 噉款,噉 b 就叫做 ac比例中項。討論等比數列問題嘅時候,經常會用到比例中項嘅概念。比例中項 b=\pm\sqrt{ac}

例如,黃金分割比 p\approx 0.6181-p1 嘅比例中項。

性質[編輯]

用初等代數可以好容易證明比例式嘅一系列性質。

基本性質[編輯]

  1. 比例式中各項同時乘(或除)以某一非零常數,比例式仍然成立;
  2. 比例外項之積等於比例內項之積

合分比定理[編輯]

如果  a:b=c:d ,噉 (a\pm b):b=(c\pm d):d。上式取正號時,稱為合比定理,取負號時,稱為分比定理

等比定理[編輯]

如果 a_1:b_1=a_2:b_2=\ldots=a_k:b_k,而且 b_1+b_2+\ldots+b_k\neq 0, 噉 a_1:b_1=a_2:b_2=\ldots=a_k:b_k=(a_1+a_2+\ldots+a_k):(b_1+b_2+\ldots+b_k)。爾個叫做等比定理

正比例同反比例[編輯]

上面講到嘅比例有時又叫正比例,噉係為咗同反比例區分。

正比例函數同反比例函數[編輯]

函數 y=kx(k\neq0) 稱為正比例函數,爾個時候 yx 成正比例,比例常數係 k。正比例函數係一次函數嘅特殊情形。正比例函數嘅圖像係一條過原點嘅直線。

函數 y=k/x(k\neq0) 稱為反比例函數,爾個時候 xy 互為反比例關係,但係一般無「比例常數係幾多」嘅講法。反比例函數嘅圖像係一條兩個焦點連線(焦軸)同坐標軸成 45^\circ 角嘅雙曲線

k=1 時,正比例函數同反比例函數都變成冪函數嘅特殊情形。

非正式用法[編輯]

喺學術以外嘅範疇,正比反比有時會用來分別指代正相關關係同負相關關係。所謂正相關,係指一個量大致趨勢上隨另一個量增加而增加;所謂負相關,係指一個量大致趨勢上隨另一個量增加而減少。

如果規定兩個變量都係正數(生活中用「正比」同「反比」來分別指代正相關同負相關大部分屬於爾種情形),噉數學上嘅正比例同反比例分別係正相關同負相關嘅特殊情形。但係如果無爾個限制,數學上嘅正比例亦可以係負相關,反之亦然。