畢氏定理

畢達哥拉斯定理，簡稱畢氏定理，又叫做勾股弦定理、勾股定理，係指直角三角形兩條直角邊長度嘅平方嘅等於斜邊長度嘅平方，即係數式： $a^2+b^2=c^2.$

證明

呢個定理有好多方法去證明，方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思（Elisha Scott Loomis）嘅Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦同餘弦函數嘅泰勒級數）來證明畢氏定理，但係，因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理，所以唔用得（睇循環論證）。

利用相似三角形嘅證法

有好多畢氏定理嘅證明方式，都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例。

設ABC為一個直角三角形，直角係角C。從點C畫上三角形嘅高，並將個高同AB嘅交叉點稱之為H。呢個新三角形ACH同原本嘅三角形ABC相似，因為喺兩個三角形都有一個直角（咁亦係由於「高」嘅定義），而兩個三角形都有A呢個共同角，由此可知第三隻角都係相等嘅。同樣道理，三角形CBH同三角形ABC都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係：

因為

$BC=a, AC=b, \mbox{ and } AB=c, \!$

所以

$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,$

可以寫成

$a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH.\,$

綜合呢兩個方程式，可以得到

$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2.\,\!$

換句話講：

$a^2+b^2=c^2.\,\!$

歐幾里得嘅証法

《幾何原本》中嘅證明

喺歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下証明。設△ABC為一個直角三角形，其中A係直角。由A點劃一直線至對邊，令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二，佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中，需要以下四個輔助定理：

• 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊所夾嘅角相等，兩個三角形就係全等（SAS定理）。
• 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
• 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
• 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積（據輔助定理3）。

證明嘅思路係：將上方嘅兩個正方形，透過等高同底嘅三角形，以佢嘅面積關係，轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

證明輔助圖2

證明如下：

1. 設△ABC為一個直角三角形，直角係CAB。
2. 個邊分別係BC、AB同埋CA，依次序畫成四方形CBDE、BAGF同ACIH。
3. 畫出過點A嘅BD、CE嘅平行線。條線會分別同BC嘅DE直角喺K、L相交。
4. 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。
5. ∠CAB同∠BAG都係直角，因此C、A同G都係線性對應嘅，B、A同H都係一樣。
6. ∠CBD同∠FBA都係直角，所以∠ABD等於∠FBC。
7. 因為 AB 同 BD 分別等於 FB 同 BC，所以△ABD 一定同△FBC相等。
8. 因為 A 、 K 同 L成同一直綫，所以四方形 BDLK 面積係△ABD兩倍。
9. 因為C、A同G成同一直綫，所以正方形BAGF面積係△FBC兩倍。
10. 因此四邊形 BDLK 必定有相同嘅面積 BAGF = AB²。
11. 同埋，四邊形 CKLE 必定有相同嘅面積 ACIH = AC²。
12. 將呢兩個結果相加，AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
13. 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
14. 由於CBDE係正方形，因此AB² + AC² = BC²。

呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅。

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理，而且由呢個定理可以推出平行公理，好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

圖形重新排列證法

以面積減算法證明

以重新排列法證明

呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係$(a+b)^2$。將四個相等嘅三角形移除之後，左邊剩底嘅面積就係$a^2+b^2$，右邊剩底嘅面積係$c^2$，兩者相等。

畢氏定理嘅逆定理

畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法，其中AB=c係最長邊：

• 如果$a^2 + b^2 = c^2 \,$，△ABC係直角三角形。
• 如果$a^2 + b^2 > c^2 \,$，∠C係銳角（重要再檢驗∠A同埋∠B後，先可以確認△ABC係唔係銳角三角形）。
• 如果$a^2 + b^2 < c^2 \,$，△ABC係鈍角三角形。

逆定理嘅證明

畢氏定理嘅逆定理嘅證法數明顯少過畢氏定理嘅證法。以下係一啲常見證法。

同一法

構造$\triangle A'B'C'$，使$a'=a, b'=b, \angle C' = 90^\operatorname{\omicron}$。

根據畢氏定理，$c' = \sqrt{a'^2 + b'^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c$，從而$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$（SSS）。

因此，$\angle C = 90^\operatorname{\omicron}$。

餘弦定理

根據餘弦定理，$\cos C = \frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}$。由於$a^2 + b^2 = c^2 \,$，故$\cos C = 0 \,$，從而$\angle C = 90^\operatorname{\omicron}$。

相似三角形

喺AB邊上截取點D令$\angle DCB = \angle A$。

喺$\triangle CDB \,$同$\triangle ACB\,$中，$\angle B=\angle B, \angle DCB=\angle A \Rightarrow \triangle CDB \sim \triangle ACB$。

從而，$\frac {BC}{BA} = \frac {BD}{BC} \Rightarrow BD= \frac {a^2}c$，以及$\frac {CD}{AC} = \frac {CB}{AB} \Rightarrow CD= \frac {ab}c$。

另一方面，$AD=AB-BD=c- \frac {a^2}c=\frac {b^2}c$，故此由$\frac {DC}{AD}=\frac {BC}{AC} = \frac {BD}{CD} = \frac ab$知，$\triangle ACD \sim \triangle CBD$。

因此，$\angle BDC = \angle CDA = 90^\operatorname{\omicron}$，所以$\angle ACB = \angle CDB = 90^\operatorname{\omicron}$。