自然對數

自然對數（Natural logarithm）係以e為基嘅對數函數（$\ln x\!$），佢嘅逆函數—自然指數$e^x\!$—係以e為基嘅指數函數。

數學表示方法

自然對數嘅一般以$\ln x\!$表示，如果唔想同以10做基嘅常用對數$\log_{10}x\!$混淆，可以用「全寫」$\log_e x\!$。

而自然指數表示方法係$e^x=\exp(x)\!$。其中$x\!$可以係任意複數。

自然對數嘅級數展開

$\ln(x+1)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots,\ |x|<1$

以下係另外一條展開式： $\ln{x}=\sum^{+\infin}_{N=0}\frac{2(x-1)^{2N+1}}{(2N+1)(x+1)^{2N+1}}$

自然對數同佢逆函數嘅微積分關係

$\begin{align} &\frac{{\rm{d}}e^x}{{\rm{d}}x}&=&e^x\\ &\frac{{\rm{d}}\ln\!|x|}{{\rm{d}}x}&=&\frac{1}{x}\\ &\int\ln x\ {\rm{d}}x&=&x\ln x-x+C \end{align}$

常見科學應用

自然指數有應用響表達放射衰變（放射性）之類關於衰減嘅過程，例如放射性原子數目N隨時間變化率$\frac{dN}{dt}=-pN$，常數p係原子衰變概率，積分得到$N(t)=N(0)e^{-pt}$。

響Logistic人口模型入面，人口N隨時間嘅變化率$\frac{dN}{dt}=rN(K-N)$，其中r係增長率，K係環境承載力，解呢個微分方程，得到$N(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{N(0)}-1)e^{-Krt}}$，呢個函數亦都同自然指數有關。