自然對數

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自然對數(Natural logarithm)係以e對數函數\ln x\!),佢嘅逆函數自然指數e^x\!—係以e為基嘅指數函數

數學表示方法[編輯]

自然對數嘅一般以\ln x\!表示,如果唔想同以10做基嘅常用對數\log_{10}x\!混淆,可以用「全寫」\log_e x\!

而自然指數表示方法係e^x=\exp(x)\!。其中x\!可以係任意複數

自然對數嘅級數展開[編輯]

\ln(x+1)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots,\ |x|<1

以下係另外一條展開式: \ln{x}=\sum^{+\infin}_{N=0}\frac{2(x-1)^{2N+1}}{(2N+1)(x+1)^{2N+1}}

自然對數同佢逆函數嘅微積分關係[編輯]


\begin{align}
&\frac{{\rm{d}}e^x}{{\rm{d}}x}&=&e^x\\
&\frac{{\rm{d}}\ln\!|x|}{{\rm{d}}x}&=&\frac{1}{x}\\
&\int\ln x\ {\rm{d}}x&=&x\ln x-x+C
\end{align}

常見科學應用[編輯]

自然指數有應用響表達放射衰變(放射性)之類關於衰減嘅過程,例如放射性原子數目N隨時間變化率\frac{dN}{dt}=-pN,常數p係原子衰變概率,積分得到N(t)=N(0)e^{-pt}

Logistic人口模型入面,人口N隨時間嘅變化率\frac{dN}{dt}=rN(K-N),其中r係增長率,K係環境承載力,解呢個微分方程,得到N(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{N(0)}-1)e^{-Krt}},呢個函數亦都同自然指數有關。