虛數單位

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\ldots(重複藍色區域樣式)
i^{-3} = i\,\!
i^{-2} = -1\,\!
i^{-1} = -i\,\!
i^0 = 1\,\!
i^1 = i\,\!
i^2 = -1\,\!
i^3 = -i\,\!
i^4 = 1\,\!
i^5 = i\,\!
i^6 = -1\,\!
\ldots(重複藍色區域樣式)

數學物理同埋工程學當中虛數單位標記為i\,\!。虛數單位嘅發明傳到實數系統\mathbb{R}\,\!能夠延伸至到複數系統 \mathbb{C}\,\!。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式x^2+1=0\,\!就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數,咁樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式(參閱代數基本定理)就都會有解。

[編輯] 定義

虛數單位 i\,\! 定義為二次方程式 x^2 + 1 = 0\,\! 嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為

x^2 =  - 1\,\!

由於實數嘅平方絕對唔可能係負數,所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答,幫佢設定一個符號 i\,\! 。有一點好重要嘅就係,i\,\! 係一個定義明確 (well-defined) 嘅數學構造。

實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候,只需要假設 i\,\! 係一個未知數,然後跟住 i\,\! 嘅定義,替代任何 i^2\,\! 嘅出現為  - 1\,\!i\,\! 的更高整數冪數也可以替代為  - i\,\!1\,\! ,或 i\,\!,根據下面嘅方程式:

i^3 = i^2 i = ( - 1) i = - i \,\!
i^4 = i^3 i = ( - i) i = - (i^2) = - ( - 1) = 1 \,\!
i^5 = i^4 i = (1) i = i \,\!

一般嚟講有以下嘅公式:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

[編輯] i 嘅計算

好多實數嘅運算都可以推廣到i,例如指數對數同埋三角函數

一個數嘅ni次方係:

 \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)).

一個數嘅nith次方根係:

 \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).

以i 為底嘅對數係:

 \log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.

i 嘅余弦係一個實數:

 \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.

i 嘅正弦係虛數:

 \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.