虛數單位

數學嘅數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\mathbb{N}$ 整數 $\mathbb{Z}$ 二進分數 有限小數 循環小數 有理數 $\mathbb{Q}$ 高斯整數 $\mathbb{Z}[i]$ 代數數 $\mathbb{A}$ 實數 $\mathbb{R}$ 複數 $\mathbb{C}$ 負數 分數 單位分數 無限小數 規矩數 無理數 超越數 二次無理數 虛數 艾森斯坦整數 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數 四元數 $\mathbb{H}$ 共四元數 八元數 $\mathbb{O}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\mathbb{S}$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

對偶數 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 艾禮富數 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$ 無窮大量 ∞

$\ldots$（重複藍色區域樣式）

$i^{-3} = i\,\!$

$i^{-2} = -1\,\!$

$i^{-1} = -i\,\!$

$i^0 = 1\,\!$

$i^1 = i\,\!$

$i^2 = -1\,\!$

$i^3 = -i\,\!$

$i^4 = 1\,\!$

$i^5 = i\,\!$

$i^6 = -1\,\!$

$\ldots$（重複藍色區域樣式）

喺數學、物理同埋工程學當中虛數單位標記為$i\,\!$。虛數單位嘅發明傳到實數系統$\mathbb{R}\,\!$能夠延伸至到複數系統 $\mathbb{C}\,\!$。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式$x^2+1=0\,\!$就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數，咁樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式（參閱代數基本定理）就都會有解。

定義

虛數單位 $i\,\!$ 定義為二次方程式 $x^2 + 1 = 0\,\!$ 嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為

$x^2 = - 1\,\!$ 。

由於實數嘅平方絕對唔可能係負數，所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答，幫佢設定一個符號 $i\,\!$ 。有一點好重要嘅就係，$i\,\!$ 係一個定義明確 (well-defined) 嘅數學構造。

實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候，只需要假設 $i\,\!$ 係一個未知數，然後跟住 $i\,\!$ 嘅定義，替代任何 $i^2\,\!$ 嘅出現為 $- 1\,\!$ 。 $i\,\!$ 的更高整數冪數也可以替代為 $- i\,\!$ ，$1\,\!$ ，或 $i\,\!$，根據下面嘅方程式：

$i^3 = i^2 i = ( - 1) i = - i \,\!$ ，

$i^4 = i^3 i = ( - i) i = - (i^2) = - ( - 1) = 1 \,\!$ ，

$i^5 = i^4 i = (1) i = i \,\!$ 。

一般嚟講有以下嘅公式：

$i^{4n} = 1\,$

$i^{4n+1} = i\,$

$i^{4n+2} = -1\,$

$i^{4n+3} = -i.\,$

i 嘅計算

好多實數嘅運算都可以推廣到$i$，例如指數、對數同埋三角函數。

一個數嘅$ni$次方係：

^th次方根係：

$\!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).$

以i 為底嘅對數係：

$\log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.$

$i$ 嘅余弦係一個實數：之所以你你老母食屎

$\cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.$

$i$ 系因为你食屎と淫猥

i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.</math>