虛數單位

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數學
基本

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

自然數 \mathbb{N}
整數 \mathbb{Z}
二進分數
有限小數
循環小數
有理數 \mathbb{Q}
高斯整數 \mathbb{Z}[i]
代數數 \mathbb{A}
實數 \mathbb{R}
複數 \mathbb{C}

負數
分數
單位分數
無限小數
規矩數
無理數
超越數
二次無理數
虛數
艾森斯坦整數 \mathbb{Z}[\omega]

延伸

雙複數
四元數 \mathbb{H}
共四元數
八元數 \mathbb{O}
超數
上超實數
超現實數

超複數
十六元數 \mathbb{S}
複四元數
Tessarine
大實數
超實數 {}^\star\mathbb{R}

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數序列
數學常數

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數嘅底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = +\sqrt{-1}
無窮大量 

\ldots(重複藍色區域樣式)
i^{-3} = i\,\!
i^{-2} = -1\,\!
i^{-1} = -i\,\!
i^0 = 1\,\!
i^1 = i\,\!
i^2 = -1\,\!
i^3 = -i\,\!
i^4 = 1\,\!
i^5 = i\,\!
i^6 = -1\,\!
\ldots(重複藍色區域樣式)

數學物理同埋工程學當中虛數單位標記為i\,\!。虛數單位嘅發明傳到實數系統\mathbb{R}\,\!能夠延伸至到複數系統 \mathbb{C}\,\!。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式x^2+1=0\,\!就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數,噉樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式(參閱代數基本定理)就都會有解。

定義[編輯]

虛數單位 i\,\! 定義為二次方程式 x^2 + 1 = 0\,\! 嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為

x^2 =  - 1\,\!

由於實數嘅平方絕對唔可能係負數,所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答,幫佢設定一個符號 i\,\! 。有一點好重要嘅就係,i\,\! 係一個定義明確 (well-defined) 嘅數學構造。

實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候,只需要假設 i\,\! 係一個未知數,然後跟住 i\,\! 嘅定義,替代任何 i^2\,\! 嘅出現為  - 1\,\!i\,\! 的更高整數冪數也可以替代為  - i\,\!1\,\! ,或 i\,\!,根據下面嘅方程式:

i^3 = i^2 i = ( - 1) i = - i \,\!
i^4 = i^3 i = ( - i) i = - (i^2) = - ( - 1) = 1 \,\!
i^5 = i^4 i = (1) i = i \,\!

一般嚟講有以下嘅公式:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

i 嘅計算[編輯]

好多實數嘅運算都可以推廣到i,例如指數對數同埋三角函數。注意,爾尐都係複變函數入面嘅多值函數,使用嘅時候一定要注意揀嘅係黎曼面嘅邊一支,下面衹係列出咗其中一支嘅結果。

一個數嘅ni次方係:

 \!\ x^{ni} = \cos \ln x^n + i \sin \ln x^n.

一個數嘅ni次方根係:

 \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos \ln \sqrt[n]{x}-i\sin \ln \sqrt[n]{x}.

以i 為底嘅對數係:

 \log_ix = {{2 \ln x} \over i\pi}.

i 嘅餘弦係一個實數:

 \cos i = \cosh 1 = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} \approx 1.54308064.

i 嘅正弦係一個純虛數

 \sin i = \, i\sinh 1 = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i \approx 1.19520119 i.