謝爾曼質數

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一個數 p 本身已經係質數,若果 2p+1 亦都係質數嘅話,咁我哋就會定義 p謝爾曼質數

索菲·謝爾曼證明咗費馬最後定理對於呢類質數嚟講係真實同可靠嘅。而且如果 x, y, z 都係整數嘅話,咁喺 x^p + y^p = z^p 呢條式入面,一定有一項可以俾 p 整除到。

究竟係咪存在無限個謝爾曼質數呢個問題仍然係屬於猜想。

由1 至到10000 總共有190 個謝爾曼質數(OEIS:A005384):

2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131
173 179 191 233 239 251 281 293 359 419 431 443
491 509 593 641 653 659 683 719 743 761 809 911
953 1013 1019 1031 1049 1103 1223 1229 1289 1409 1439 1451
1481 1499 1511 1559 1583 1601 1733 1811 1889 1901 1931 1973
2003 2039 2063 2069 2129 2141 2273 2339 2351 2393 2399 2459
2543 2549 2693 2699 2741 2753 2819 2903 2939 2963 2969 3023
3299 3329 3359 3389 3413 3449 3491 3539 3593 3623 3761 3779
3803 3821 3851 3863 3911 4019 4073 4211 4271 4349 4373 4391
4409 4481 4733 4793 4871 4919 4943 5003 5039 5051 5081 5171
5231 5279 5303 5333 5399 5441 5501 5639 5711 5741 5849 5903
6053 6101 6113 6131 6173 6263 6269 6323 6329 6449 6491 6521
6551 6563 6581 6761 6899 6983 7043 7079 7103 7121 7151 7193
7211 7349 7433 7541 7643 7649 7691 7823 7841 7883 7901 8069
8093 8111 8243 8273 8513 8663 8693 8741 8951 8969 9029 9059
9221 9293 9371 9419 9473 9479 9539 9629 9689 9791

去到2005年1月為止,最大嘅幾個謝爾曼數係:

數值 年份 發現者
92305 \times 2^{16998} + 1 1998年 Hoffmann
109433307 \times 2^{66452} - 1 2001年 Underbakke
2540041185 \times 2^{114729}-1 2003年 Underbakke
7068555 \times 2^{121301} -1 2005年1月8號 P. Minovic

特性[編輯]

謝爾曼質數永遠唔會以7 為個位數。下面就係證明:

反證法:假設存在個位數係 7 嘅質數 p,將佢表達成 p=10k+7。根據謝爾曼質數嘅性質,2p+1 亦都會係質數,但係 2p+1=2(10k+7)+1=20k+15=5(4k+3)2p+1 可以俾5 整除,係一個合成數,所以有所矛盾。

同梅森數嘅關係[編輯]

若果p > 3p \equiv 3 \pmod{4},而且p 又係謝爾曼質數,咁 2p+1 就係梅森數M_p因數

出現頻率[編輯]

1922年哈代同Littlewood 發表咗以下呢一條用嚟計算謝爾曼質數頻率嘅公式:

{2Cx \over ln^2(x) }
而且 C \approx 0,6601618158,咁C 就係孿生質數常數

坎寧安鏈[編輯]

數列 {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} 嘅索非熱爾曼質數稱為第一類坎寧安鏈。除咗頭同尾之外,呢個數列入面嘅項都會同時係謝爾曼質數同安全質數