頂點代數

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頂點代數,又叫[1]頂點算子代數(en:Vertex Operator Algebra, VOA) 係共形場論(保角場論)嘅代數結構。其應用包括魔群月光猜想(en:Monstrous moonshine)同埋幾何化朗蘭兹綱領

1986 年,Richard Borcherds 受二維共形場論中用以插入之頂點算子啓發,提出頂點算子代數結構。 重要例子有:

定義頂點算子代數嘅各公理抽象自物理學人所謂嘅手徵代數(en:Chiral algebra),其嚴格數學定義由 Beilinson 同埋 Drinfeld 提出。

定義[編輯]

一嚿頂點代數由以下資料組成:

  • 向量空間V,
  • 「單位元」1\inV ,
  • 自態射 T,
  • 乘法性映射: Y:V\otimes V\to V((z)) 或書作 (a,b)\mapsto Y(a,z)b = \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n b z^{-n-1}

並滿足以下條件::

  1. (單位)V中每一元 a,都符合
    Y(1,z)a = a = az^0 and Y(a,z)1 \in a + zV[[z]]
  2. (位移) T(1) = 0, 且V中每元a, b, 都符合
    Y(a,z)Tb - TY(a,z)b = \frac{d}{dz}Y(a,z)b
  3. (四頂點函數)V中每元a, b, c , 都符合
    X(a,b,c;z,w) \in V[[z,w]][z^{-1}, w^{-1}, (z-w)^{-1}]
    其中 Y(a,z)Y(b,w)c, Y(b,w)Y(a,z)c, 與 Y(Y(a,z-w)b,w)c 分别係 X(a,b,c;z,w)V((z))((w)) , V((w))((z)), 與 V((w))((z-w))中之級數展開式.

此乘法映射常被寫作「狀態——場 對應」(en:state-field correspondence):

Y: V \to (End V)[[z^{\pm 1}]],

V中每一向量配上一支以算子為值嘅形式分佈(「頂點算子」);其物理意義係喺原點插入一算子。T則係無窮小位移嘅一粒生成元。 「四頂點函數」公理統一咗(誤差唔過奇異值嘅)結合律交換律。 位移公理涵蘊 Ta = a-21, 故Y 之值決定了T 之值。

分級頂點代數[編輯]

Z+-分級頂點代數

  • 一頂點代數V:
    V = \bigoplus_{n=0}^\infty V_n\,

使每a ∈ Vkb ∈ Vm, 符合an b ∈ Vk+m-n-1.

設有一Z+-分級頂點代數. 其一 Virasoro 元 為 V2 一元 ω , 使頂點算子

Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \omega_{(n)} {z^{-n-1}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}

符合以下條件: Vn 中每一元 a符合:

  • L_0 a = na
  • Y(L_{-1} a, z) = \frac{d}{dz} Y(a, z) = [Y(a,z),T]
  • [L_m, L_n]a = (m - n)L_{m + n}a + \delta_{m + n, 0} \frac{m^3-m}{12}ca

其中 c 係一常值,叫「中心荷」(en:central charge), 或「V之秩」(en:rank)。 此亦使V成為 Virasoro 代數之一表示。

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仿射李代數嘅頂點代數[編輯]

內文: 頂點代數(仿射)

  • g 係單李代數
  • g^:= g((t)) + CK 係渠嘅仿射李代數
  • Ck:=C. vk 係 g^ 嘅一維表示,t 嘅作用係0,K 嘅作用係 k;
  • Vk(g) := Indg[ [t]]⊕CKg^ Ck := U(g^) ⊗ g[ [t]]⊕C Ck 係誘導表示

  • Vk(g) 有自然嘅頂點代數結構;我地攞vk做其真空向量|0> 。

參攷[編輯]

  • Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
  • Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
  • Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
  • Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10., 亞美利根數學會, 1996. ISBN 0-8218-0643-2

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  1. 註:頂點代數之定義有幾種大同小異之版本;請參攷有關專著。