一元三次方程

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立方函數 嘅圖。佢嘅根(即係 截距)有三個: ;佢嘅臨界點有兩個。

一元三次方程,或者叫立方函數,係一條有一個未知數而次數係三嘅方程。一元三次方程通常會寫做

解法[編輯]

如果要解一元三次方程,首先一定要剷咗二次方嗰個項,變成一個冇咗二次項嘅方程。之後無論用卡贊諾或者韋達嘅方法,都可以得到方程嘅解。最後得到嘅解嘅公式係:

簡化[編輯]

如果想解一元三次方程,一定要先剷走咗個二次項。呢個係求解嘅時候好重要嘅一步,咁就可以啟發思路,容易啲諗到求解嘅辦法。簡化嘅時候,成條式除以 ,代入 ,得到 咁嘅樣,當中:

證明:

最後嗰步就將 嗰三個可能值加落 嗰度,咁就好以得到方程嘅三個解。

去到呢一步之後,無論用卡贊諾嘅方法或者韋達嘅方法,都可以揾到

卡贊諾之法[編輯]

數學家卡贊諾話:假設 。咁就可以得到:

同時,又設 。於是就得到:

同埋 都係 嘅解。用一元二次方程嘅公式就可以解咗佢。於是得到:

跟著用單位根去揾 各自相應嘅三個可能值,用 可以揾到 (兩個實數解嘅 相加揾到一個 ,至於複數解嘅 ,佢哋嘅系數都係共軛嘅就相加)。於是,再用 就可以揾到答案。

韋達之法[編輯]

數學家韋達話:假設 。咁就可以得到:

又:設 。則:

咁嘅話,就得到 其實係 嘅其中一個解。用一元二次方程嘅公式就可以揾到解。揾佢嘅解就好似上面卡贊諾嘅辦法,因為上面嗰條方程同埋下面嗰條方程都係一樣嘅。

之後再用單位根 嘅三個可能值,然後又用 得到 。最後用 得到答案。

根嘅特性[編輯]

首先定立判別式

咁樣嘅話:

如果 ,就有一個實根同埋一啤共軛複根;

如果 ,就有多重實根,當中:

  • 如果 ,有一個雙重實根同埋另一個單實根。
  • 如果 ,有一個三重實根。

如果 ,有三個唔同嘅實根。