保西奴中間點定理

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保西奴中間點定理(Bolzano's Intermediate Value Theorem)係屬於數學分析入面,間上連續函數入面一個定理嘅推斷。佢係來自根定位定理,而根定位定理係一個相當重要嘅定理,佢會利用左斬半間距嘅做法。

根定位定理[編輯]

假設係喺上面連續

如果或者,咁就會有一點符合

證明:

假設

設一個間距就係呢個間距嘅中間點。

如果,咁,可以收工。

如果,咁即係或者

  • 如果,設就係間距嘅中間點。
  • 如果,設就係間距嘅中間點。

無論如何,都會得出一個循環間距符合同埋

將以上步驟做落去可以得到以下設定:

有間距符合同埋,設,將佢斬半。

  • 如果,咁,可以收工。
  • 如果,設就係間距嘅中間點。
  • 如果,設就係間距嘅中間點。

如果上面嘅步驟係有限咁多步就做到,咁定理就成立。

需要考慮,呢個步驟係無限咁進行落去嘅話會點。

假設以上步驟係無窮咁進行,咁就會得出一串循環間距

,同時間會有同埋

因為每次間距都斬半,所以嘅長度係

利用循環間距定理,得知對應所有嘅,會有一點入面,即係話

利用長度嚟計算,所以

因為呢點上面係連續,所以

利用極限排序性質同埋

所以總結出

中間點定理[編輯]

中間點定理(Intermediate Value Theorem)係上面根定位嘅推理。

假設係一個間距同埋係喺上面連續。

如果同埋符合,咁就會有一點之間,使到

證明:

只有兩個可能性,就係或者



推斷:

係一個關閉又被綁定嘅間距,係喺上面連續嘅。

如果係任何一個數符合,咁就會有一點使到

應用[編輯]

係一個關閉又被綁定嘅間距,係喺上面連續嘅。咁都係一個關閉又被綁定嘅間距。

證明:

利用最高點最低點定理,得知

所以

咁因為中間點嘅推斷得知,有會一點符合

所以

因此

綜合兩者,係一個間距,佢係

睇埋[編輯]