保西奴中間點定理

保西奴中間點定理（Bolzano's Intermediate Value Theorem）係屬於數學分析入面，間上連續函數入面一個定理嘅推斷。佢係來自根定位定理，而根定位定理係一個相當重要嘅定理，佢會利用左斬半間距嘅做法。

根定位定理

假設$I:=[a,b]$，$f:I\to \mathbb {R}$係喺$I$上面連續。

如果$f(a)<0<f(b)$或者$f(a)>0>f(b)$，咁就會有一點$c\in (a,b)$符合$f(c)=0$。

證明：

假設$f(a)<0<f(b)$。

設一個間距$I_{1}:=[a_{1},b_{1}]$，$a_{1}=a,b_{1}=b$，$m_{1}={\frac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})$就係呢個間距嘅中間點。

如果$f(m_{1})=0$，咁$c=m_{1}$，可以收工。

如果$f(m_{1})\neq 0$，咁即係$f(m_{1})>0$或者$f(m_{1})<0$。

• 如果$f(m_{1})>0$，設$a_{2}=a,b_{2}=m_{1}$，$m_{2}={\frac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})$就係$I_{2}:=[a_{2},b_{2}]$間距嘅中間點。
• 如果$f(m_{1})<0$，設$a_{2}=m_{1},b_{2}=b_{1}$，$m_{2}={\frac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})$就係$I_{2}:=[a_{2},b_{2}]$間距嘅中間點。

無論如何，都會得出一個循環間距$I_{2}\subset I_{1}$符合$f(a_{2})<0$同埋$f(b_{2})>0$。

將以上步驟做落去可以得到以下設定：

有間距$I_{k}:=[a_{k},b_{k}]$符合$f(a_{k})<0$同埋$f(b_{k})>0$，設$m_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k}+b_{k})$，將佢斬半。

• 如果$f(m_{k})=0$，咁$c=m_{k}$，可以收工。
• 如果$f(m_{k})>0$，設$a_{k+1}=a_{k},b_{k+1}=m_{k}$，$m_{k+1}={\frac {1}{2}}(a_{k+1}+b_{k+1})$就係$I_{k+1}:=[a_{k+1},b_{k+1}]$間距嘅中間點。
• 如果$f(m_{k})<0$，設$a_{k+1}=m_{k},b_{k+1}=b_{k}$，$m_{k+1}={\frac {1}{2}}(a_{k+1}+b_{k+1})$就係$I_{k+1}:=[a_{k+1},b_{k+1}]$間距嘅中間點。

如果上面嘅步驟係有限咁多步就做到$f(m_{k})=0$，咁定理就成立。

需要考慮，呢個步驟係無限咁進行落去嘅話會點。

假設以上步驟係無窮咁進行，咁就會得出一串循環間距$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \cdots \supseteq I_{n}\supseteq \cdots$。

$I_{n}:=[a_{n},b_{n}],\forall n\in \mathbb {N}$，同時間會有$f(a_{n})<0$同埋$f(b_{n})>0$。

因為每次間距都斬半，所以$I_{n}$嘅長度係$b_{n}-a_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}(b-a)$。

利用循環間距定理，得知對應所有嘅$\forall n\in \mathbb {N}$，會有一點$c\in I_{n}$係$I_{n}$入面，即係話$a_{n}\leq c\leq b_{n},\forall n\in \mathbb {N}$。

利用長度嚟計算$\lim _{n}b_{n}-a_{n}=\lim _{n}{\frac {1}{2^{n-1}}}(b-a)=0$，所以$\lim _{n}a_{n}=\lim _{n}b_{n}=c$。

因為$f$喺$c$呢點上面係連續，所以$\lim _{n}f(a_{n})=\lim _{n}f(b_{n})=f(c)$。

利用極限排序性質，$f(a_{n})<0\implies \lim(f(a_{n}))<0$同埋$f(b_{n})>0\implies \lim(f(b_{n}))>0$。

所以總結出$f(c)=0$。

中間點定理

中間點定理（Intermediate Value Theorem）係上面根定位嘅推理。

假設$I$係一個間距同埋$f:I\to \mathbb {R}$係喺$I$上面連續。

如果$a,b\in I$同埋$k\in \mathbb {R}$符合$f(a)<k<f(b)$，咁就會有一點$c\in I$喺$a$同$f(c)=0$之間，使到$f(c)=k$。

證明：

只有兩個可能性，就係$a<b$或者$b>a$。

證明$a<b$

設$g(x):=f(x)-k$。

咁$g(a)=f(a)-k$，$g(b)=f(b)-k$。

利用$f(a)<k<f(b)$得知，$f(a)-k<0<f(b)-k$。

即係$g(a)<0<g(b)$，再利用根定位定理得知，有點$c\in (a,b)$符合$g(c)=f(c)-k=0$。

$f(c)=k$

證明$b>a$

設$g(x):=-f(x)+k$。

咁$g(a)=-f(a)+k$，$g(b)=-f(b)+k$。

利用$f(a)<k<f(b)$得知，$k-f(a)>0>k-f(b)$。

即係$g(b)<0<g(a)$，再利用根定位定理得知，有點$c\in (b,a)$符合$g(c)=-f(c)+k=0$。

$f(c)=k$

推斷：

設$I:=[a,b]$係一個關閉又被綁定嘅間距，$f:I\to \mathbb {R}$係喺$I$上面連續嘅。

如果$k\in \mathbb {R}$係任何一個數符合$\inf f(I)\leq k\leq \sup f(I)$，咁就會有一點$c\in I$使到$f(c)=k$。

應用

設$I$係一個關閉又被綁定嘅間距，$f:I\to \mathbb {R}$係喺$I$上面連續嘅。咁$S:=\{f(x):x\in I\}$都係一個關閉又被綁定嘅間距。

證明：

設$s_{\star }:=\inf S$同$s^{\star }:=\sup S$。

利用最高點最低點定理，得知$s_{\star },s^{\star }\in S$。

所以$S\subseteq [s_{\star },s^{\star }]$。

設$s\in [s_{\star },s^{\star }]$。

咁因為中間點嘅推斷得知，有會一點$c\in I$符合$f(c)=s$。

所以$s\in S$。

因此$[s_{\star },s^{\star }]\subseteq S$。

綜合兩者，$S$係一個間距，佢係$[s_{\star },s^{\star }]$。

睇埋

• 極限
• 連續函數
• 函數組合嘅連續性
• 間上連續函數
• 函數最高點與最低點
• 統一連續