傅利耶分析

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傅利耶分析(Fourier analysis)係研究一個函數同啲基本三角函數嘅關係嘅,後者可以加和成前者。傅利耶分析當中包含有從函數分解成基本三角函數嘅傅利耶級數同埋傅利耶變換等等過程,經常亦都包含到啲分解過程嘅逆過程。喺仲要普適嘅情況下(抽象調和分析),傅利耶分析個領域研究到廣義嘅傅利耶變換,之經典嘅傅利耶級數、傅利耶變換、同埋拉普拉斯變換梅林變換與及阿達馬變換都係佢啲特例噉解。

傅利耶分析喺各種科學技術分支裏便都十分之關鍵。佢個應用範圍涵蓋埋物理學聲學光學潮汐天體物理學)、數學數論統計組合論概率論)嘅好多子科,與及訊號處理密碼學海洋學經濟學等等領域。

經典傅利耶分析啲變體[編輯]

傅立葉分析四個可能變體嘅時頻關係圖。時間離散序列抑或離散譜分別從相對側需要到鏡像頻譜抑或週期求和

下低幅表擺有唔同嘅傅利耶分析過程變體,對應唔同連續性同埋週期性嘅定義域。

傅利耶分析家族啲變體嘅定义
定義域 連續 離散
週期 傅利耶級數 離散傅利耶變換(DFT)
非週期 連續傅利耶變換 離散時間傅利耶變換(DTFT)
  • 都係週期函數,週期分別係
  • 都係無限序列,間隔分別係
  • 都係有限序列,序列長度都係

廣義傅利耶分析[編輯]

內文:抽象調和分析

抽象調和分析係拓展傅利耶分析到啲局部緊緻拓撲群嘅,喺啲群度可以用Haar測度嚟定義傅利耶積分、之有勒貝格測度作爲特例。列夫·龐特里亞展英文Lev Pontryagin引入嘅特徵概念係抽象調和分析嘅核心,即局部緊緻阿標羣對到N維球胚嘅連續群同態。好似線性泛函與及對偶空間,佢哋整體形成對偶群 。對偶群嘅概念係透過龐特里亞展對偶定理英文Pontryagin duality證明嘅。喺抽象調和分析當中,廣義嘅傅利耶變換係噉樣定義嘅:

喺揀選同埋之下有,噉樣就得到經典嘅連續傅利耶變換。

睇埋[編輯]