可交換質數

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可交換質數permutable prime)系指一個質數,喺特定進制下嘅各位數字可以任意交換位置,其結果仍為質數。數學家Hans-Egon Richert最早研究呢類嘅質數,命名為可交換質數[1],之不過呢類質數也被稱為絕對質數absolute primes[2]

以下系十進制下所有已知嘅,小於49081位數嘅可交換質數(OEIS中嘅數列A003459):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R19 (1111111111111111111), R23, R317, R1031

下兩個可交換質數(可能偽質數)是R49081和R86453

以上有些質數的的數字相同,只系位置唔同,例如13和31,若呢類由同一質數交換位置所得嘅質數只用一個作為代表,咁只有16組可交換質數(OEIS中嘅數列A258706):

2, 3, 5, 7, R2, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R19, R23, R317, R1031.

其中Rn = 循環單位,系由n個1組成嘅(十進位)數字。循環單位嘅質數系可交換質數,之不過也有些可交換質數嘅定義中包括至少有二個唔同嘅數字,此定義下循環單位嘅質數就唔系可交換質數[3],此定義下嘅可交換質數,喺十進制裡最大系991。

所有超過1位數嘅可交換質數都系由1,3,7,9數字組成,唔包括所有偶數及5,因為若有出現呢些數字,呢些數字喺交換位置後可能會喺個位數,而超過1位數嘅數字,若個位數為偶數或系5,一定唔系質數。已有數字家證明冇任一個可交換質數中有1,3,7,9中嘅三個數字,也冇任一個可交換質數其中有1,3,7,9中嘅二個數字,且每個數字出現唔止一次。

對於3 < n < 6·10175嘅正整數n,唔存在n位數且唔系循環單位嘅可交換質數[1]。目前估想除咗上述數字外,唔存在其他嘅可交換質數。喺二進制中,只有循環單位才可能系可交換質數,因此若任何一位數為0,呢個0交換位置到最末位時,數字系合數,唔系質數。因此二進制嘅可交換質數即為梅森素數。此概念可以延伸到其他進位制中,一位數嘅質數必定系可交換質數,而超過一位數可交換質數嘅各位數字一定系由和進位制基數互質嘅數所組成。

相關條目[編輯]

參考資料[編輯]

  1. 1.0 1.1 H. E. Richert, "On permutable primtall," Norsk Matematiske Tiddskrift 33 (1951), 50–54.
  2. T. Bhargava & P. Doyle, "On the existence of absolute primes," Math. Mag. 47 (1974), 233.
  3. Chris Caldwell, The Prime Glossary: permutable prime at The Prime Pages.