吉布士熵

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統計力學中文統計力學入面,吉布士熵英文Gibbs entropy)係平衡態中文熱力學平衡下體系中文嘅一條通用表達式。如果體系有n能級中文能級,佔第i個能級嘅機率p_i,噉體系嘅熵就係

S = -k_\text{B}\,\sum_{i=1}^n p_i \ln \,p_i,

其中k_\text{B}波茲曼常數中文波茲曼常數,爾條式叫做吉布士熵公式。

導引[編輯]

可以用系綜中文系綜嘅方法來推出吉布士熵公式。

考慮由N個同我哋考察嘅體系相同嘅體系組成嘅系綜。達到平衡態嗰時,最有可能出現嘅情況係,有N_i=p_iN個體系處於第i個能級。 爾種情況出現嘅可能性遠遠大過其它可能性,根據摘取最大項原理,喺波茲曼熵公式英文Boltzmann's entropy formulaS=k_\text{B}\ln W入面計算W嘅時候可以衹考慮爾一項嘅貢獻,根據組合數學中文組合數學,有:

W\approx\frac{N!}{\prod_{i=1}^nN_i!}.

斯特靈公式中文斯特靈公式

\ln(n!) = n\ln(n) - n +O(\ln n),

有:

\ln W=N\ln N-\sum_{i=1}^n N_i\ln N_i+O(\ln N)=O(\ln N)+\sum_{i=1}^nN_i(\ln N-\ln N_i)=O(\ln N)-N\sum_{i=1}^n p_i\ln p_i,

於是成個系綜嘅熵就係:

S_N=k_\text{B}\ln W=k_\text{B}\left[O(\ln N)-N\sum_{i=1}^n p_i\ln p_i\right],

因為熵係廣延量中文內含及外延性質,而且組成系綜嘅各個體系相同,所以單個體系嘅熵就係:

S=\frac{k_\text{B}}N\left[O(\ln N)-N\sum_{i=1}^n p_i\ln p_i\right]=-k_\text{B}\,\sum_{i=1}^n p_i \ln \,p_i.

爾個就係吉布士熵公式。