域中分數場

域中分數場（Fields of Fractions of an Integral Domain）係一種代數結構。一般嚟講，就係大眾所認知嘅分數，${\frac {m}{n}},m,n\in \mathbb {Z}$。域中分數場利用呢個概念去應用係其他嘢上面。同時，呢個都係喺域（Integral Domain）入面整一個場出嚟嘅方法。

等價設定

設${\textbf {D}}$係一個域。將$P={\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})=\{(a,b):a,b\in {\textbf {D}},b\neq 0\}$。

定義一個等價關係$\equiv$喺$P$入面：$(a,b)\equiv (a',b')\iff ab'=a'b$。

呢個設定即係話，通咗分母之後，大家數值一樣。

證明：

• 自反性：$(a,b)\equiv (a,b)\iff ab=ab$
• 對稱性：$(a,b)\equiv (c,d)\iff ad=cb\iff (c,d)\equiv (a,b)$
• 傳遞性：$(a,b)\equiv (c,d)\iff ad=cb$同時$(c,d)\equiv (e,f)\iff cf=de$，$af=be\iff (a,b)\equiv (e,f)$

將$P/\equiv$叫做$Q({\textbf {D}})$，而$Q({\textbf {D}})$就係分數場（Field of Fractions）。

加法同乘法

喺$Q({\textbf {D}})$入面，都會有加法同乘法，而佢哋都係普通嘅加同乘。

設${\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}$同${\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}$。

咁$ab'=a'b$，$cd'=c'd$；

$(ad+bc)b'd'=ab'd'+bb'cd'=a'bdd'+bb'c'd=(a'd'+b'c')bd$。

所以${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}={\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}={\frac {a'}{b'}}+{\frac {c'}{d'}}$。

同樣地$(ac)(b'd')=(ab')(cd')=(a'b)(c'd)=(a'c')(bd)$，

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a'}{b'}}\cdot {\frac {c'}{d'}}$。

睇埋

• 環
• 域
• 子環
• 場
• 等價關係