域 (數學)

喺數學，特別係代數入面，域係指一個非零交換環，當中唔係 $0$ 嘅元素乘埋一齊都唔係 $0$。域係整數環嘅推廣，係域上面我哋可以研究整除性。係域入面，每一個非零元素都有消除性質：如果 $a\neq 0$，咁 $ab=ac\Rightarrow b=c$。

域幾乎係所有地方都係咁樣定義，但係都有啲變體。有啲書唔要求域有乘法單元，又或者可以係唔交換環。係呢篇文入面，我哋要求域係要有乘法單元同埋係交換嘅。

定義

域基本上被定義爲非零交換環$R$，使得兩個非零嘅數乘埋都要係非零。用數學式寫出來，就係：

$\forall a,b\in R,\;ab=0\Rightarrow a=0{\text{ or }}b=0$

呢個定義可以用下面嘅方法去重寫：

• 域係無非零零因子嘅非零環。
• 域係一個交換環，當中零理想係一個質理想。
• 域係一個非零交換環，當中每一個非零元素係乘法之下都係可消除嘅。
• 域係一個環，當中非零元素形成一個乘法monoid。
• 域係一個非零交換環，當中對每一個非零元素 $r$ ，「將 $x$ 打去 $xr$」呢個函數都係單射。

一個好重要嘅性質係，場嘅每一個子環都係一個域，掉反轉，對每一個域，我哋都可以構作一個場（域中分數場），使得個域係個場嘅子環，呢個亦都可以作爲域嘅定義：

• 域係一個環，同構於一個場嘅子環。

例子

• 整數環 $\mathbb {Z}$ 係域嘅原型。
• 任何一個場都係一個域，例如實數場 $\mathbb {R}$、有理數場 $\mathbb {Q}$，掉反轉，任何 Artinian域都係一個場，所以任何有限域都係有限場。$\mathbb {Z}$ 係一個唔係場嘅例子，佢係個非 Artinian 無限域，有無限遞降嘅理想，例如：

$\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots$

• 一個多項式環，如果係數係嚟自域嘅話，咁佢自己都係域，例如 $\mathbb {Z}$ 上面嘅單未知數多項式環 $\mathbb {Z} [x]$，或者 $\mathbb {C}$ 上面嘅 n-未知數多項式環 $\mathbb {C} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]$。

• 對一個域取質理想嘅商，結果依然係一個域，例如 $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$，佢對應一條橢圓曲線，係一個域。

• 如果 $n$ 係無平方整數嘅話，$\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ 係一個域，如果 $n>0$，咁佢就係 $\mathbb {R}$ 嘅子環，否則佢就係 $\mathbb {C}$ 嘅子環。

• p進整數 $\mathbb {Z} _{p}$ 係一個域。

• 如果 $U$ 係 $\mathbb {C}$ 上面嘅一個連通開集，咁 $U$ 上面嘅所有 holomorphic函數組成一個環，呢個環係一個域。對應咁我哋可以考慮解析流形入面，連通開集上面嘅解析函數環。

非例子

以下嘅環唔係域：

• 零環（得一個元素，$0=1$ 嘅環）

• 如果 $m=xy$ 係一個合成數，當中 $x,y>1$，咁 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ 就唔係域，因爲 $xy\equiv 0{\bmod {m}}$，但係 $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ 同埋 $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$。

• 兩個非零交換環嘅積，因爲 $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$

• 如果 $n=m^{2}$ 係平方數嘅話，$\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)=\mathbb {Z} [x]/((x-m)(x+m))\cong \mathbb {Z} [x]/(x-m)\times \mathbb {Z} [x]/(x+m)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 唔係一個域。