喺數學,特別係代數入面,域係指一個非零交換環,當中唔係
嘅元素乘埋一齊都唔係
。域係整數環嘅推廣,係域上面我哋可以研究整除性。係域入面,每一個非零元素都有消除性質:如果
,咁
。
域幾乎係所有地方都係咁樣定義,但係都有啲變體。有啲書唔要求域有乘法單元,又或者可以係唔交換環。係呢篇文入面,我哋要求域係要有乘法單元同埋係交換嘅。
域基本上被定義爲非零交換環
,使得兩個非零嘅數乘埋都要係非零。用數學式寫出來,就係:

呢個定義可以用下面嘅方法去重寫:
- 域係無非零零因子嘅非零環。
- 域係一個交換環,當中零理想係一個質理想。
- 域係一個非零交換環,當中每一個非零元素係乘法之下都係可消除嘅。
- 域係一個環,當中非零元素形成一個乘法monoid。
- 域係一個非零交換環,當中對每一個非零元素
,「將
打去
」呢個函數都係單射。
一個好重要嘅性質係,場嘅每一個子環都係一個域,掉反轉,對每一個域,我哋都可以構作一個場(域中分數場),使得個域係個場嘅子環,呢個亦都可以作爲域嘅定義:
- 整數環
係域嘅原型。
- 任何一個場都係一個域,例如實數場
、有理數場
,掉反轉,任何 Artinian域都係一個場,所以任何有限域都係有限場。
係一個唔係場嘅例子,佢係個非 Artinian 無限域,有無限遞降嘅理想,例如:

- 一個多項式環,如果係數係嚟自域嘅話,咁佢自己都係域,例如
上面嘅單未知數多項式環
,或者
上面嘅 n-未知數多項式環
。
- 對一個域取質理想嘅商,結果依然係一個域,例如
,佢對應一條橢圓曲線,係一個域。
- 如果
係無平方整數嘅話,
係一個域,如果
,咁佢就係
嘅子環,否則佢就係
嘅子環。
- p進整數
係一個域。
- 如果
係
上面嘅一個連通開集,咁
上面嘅所有 holomorphic函數組成一個環,呢個環係一個域。對應咁我哋可以考慮解析流形入面,連通開集上面嘅解析函數環。
以下嘅環唔係域:
- 零環(得一個元素,
嘅環)
- 如果
係一個合成數,當中
,咁
就唔係域,因爲
,但係
同埋
。
- 兩個非零交換環嘅積,因爲

- 如果
係平方數嘅話,
唔係一個域。