場論

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場論數學入面嘅一個分支,研究嘅數學性質。場係一個數學結構,入面可以做呢四種數學運算。

歷史[編輯]

場嘅概念,早係阿貝爾伽羅華研究解方程嗰陣已經隱含哋出現咗。

1871年,戴德金引入咗「體」(德文:Körper) 呢個術語,指嘅係一啲由實數複數組成嘅集合,呢啲集喺四則運算之下係封閉嘅。

1881年,Kronecker定義咗一樣嘢叫做「Rationalitätsbereich」,大約可以譯做「有理域」,其實用而家嘅術語嚟講,就係有理函數場

1893年,Weber首次比出一個抽象場嘅定義;同年,Moore引入咗英文 Field 呢個術語。

1910年,Steinitz 發佈咗佢篇論文,名爲 Algebraische Theorie der Körper (德文:場嘅代數理論),呢篇論文影響深遠,佢用公理嚟研究場嘅唔同性質,亦都定義咗好多場論入面重要嘅概念,例如質場、完美場同埋擴張場嘅超越次數等等。

至於伽羅華,雖然係佢嘅年代係無場呢個概念,但係佢被譽爲第一個數學家連接起羣論同場論,而其實,要去到 1928 至 1942 年,先至由 Emil Artin 第一個去詳細研究之間嘅關係。

介紹[編輯]

場係代數入面好重要嘅概念,因爲佢推廣咗有理數實數同埋複數等等數字系統嘅概念。當中最重要嘅係,加法乘法結合性質交換性質,同埋乘法分配性質都保留咗。場亦都喺唔同嘅數學領域出現,可以睇吓下面嘅例子。

係抽象代數發展嘅初期,場嘅定義係唔要求乘法交換嘅,而宜家叫「場」嘅數學結構,當時叫做「交換場」或者「有理域」,係宜家嘅用法入面,場係一定交換嘅;符合除咗乘法交換律以外所有性質嘅數學結構叫做除法環,有啲人亦都會叫佢做非交換場。係法文入面,場叫做 corps ,而德文入面,場叫做 Körper。正因爲場嘅德文係 K 字頭,宜家通常都會用 或者 k 嚟表示一個場。場呢個概念最開頭係用嚟證明,五次方或以上嘅多項式係無公式解。

場嘅擴展[編輯]

內文:場擴展

一個場 k 嘅擴展其實就係一個大啲嘅場 K,個 K 裝住個 k 作爲佢嘅子場。場擴展可以再根據擴展嘅性質再作分類,例如代數擴展就係指大場 K 入面每一個元素都係細場 k 係數嘅多項式嘅解,相反嘅就叫做超越擴展。伽華理論嘅目的就係研究場嘅代數擴展。

場嘅閉包[編輯]

畀一個場 k,可以定義幾種唔同嘅閉包,例如代數閉包可分閉包等等。佢哋最核心嘅諗頭都係一樣嘅:假設 P 係一個擴張場嘅性質(例如代數封閉可分等等),咁 k 嘅一個 P-閉包就係一個場 K,佢係 k 嘅一個擴張場,有 P 呢一個性質,同時佢係最細嘅,意思啫係其他有 P 呢個性質嘅擴張場都裝咗喺 K 入面。例如,假設 P(K) 性質係指「所有喺 K[t] 入面嘅非常數多項式喺 K 入面都有解」,咁 P-閉包其實正正就係代數閉包。一般嚟講, 如果一個場 k 嘅 P-閉包係存在嘅話,佢唔係唯一,但係佢哋全部都係同構嘅,只不過未必得一個同構,甚至無一個首選嘅同構。

應用[編輯]

向量同埋矩陣嘅定義入面會用到場,而呢兩個都係綫性代數入面基本嘅概念。數論伽華理論同埋編碼理論都會用到有限場代數幾何入面,一個幾何物體上面嘅函數場係研究幾何性質好有用嘅工具。而二元場特徵數係2嘅場)對電腦科學好有用。

睇埋[編輯]

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  • R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6.
  • T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27288-2.
  • T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Rings, fields and modules: Algebra through practice, Book 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27291-2.