子數列

子數列（Subsequence）係一條數列，佢係喺一條數列入面，抽啲數出嚟，再組成一條新嘅數列，咁就叫一條佢嘅子數列。

子數列好有用，因為佢可以幫助研究一條數列會唔會趨向一點。喺數學分析上面，有重要嘅影響。

子數列同增減數列嘅關係可以睇保西奴-華實斯定理。

定義

假設有一條數列$X_{n}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots )$。可以喺入面抽特定嘅項組成新嘅子數列，$X_{n}'=(x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},\cdots )$。

因為$X_{n}=(x_{n})$，$n\in \mathbb {N}$係自然數，而且佢係隨住項數增加而增加，所以佢嘅子數列$X_{n}'=(x_{n_{k}})$，$n_{k}\in \mathbb {N}$都會隨住項數增加而增加。

注意：子數列嘅次序係必須跟主數列嘅次序。

例子

$X_{n}=(1,2,3,4,5,6,7,8\cdots )$，只係抽雙數項出嚟，就會有子數列。$X_{n}'=(2,4,6,8\cdots )$。

性質

子數列有幾個好重要嘅定理。

定理一

如果$(x_{n})$係趨向一點$x$，咁佢嘅子數列$(x_{n}')$都係趨向$x$。

證明

比任何$\varepsilon >0$，根據定理得知，會有一個自然數$N\in \mathbb {N}$，所對應嘅第$n\geq N$項符合，$|x_{n}-x|<\varepsilon$。

根據子數列嘅定義，佢都會所對應嘅第$n_{k}\geq n\geq N$項符合，$|x_{n_{k}}-x|<\varepsilon$。

因此，子數列都係趨向$x$。

定理二

假設$(x_{n})$係一條實數列，咁以下三句說話係一樣意思：

• $(x_{n})$唔趨向呢點$x\in \mathbb {R}$。
• 會存在一個$\varepsilon >0$會令到任何$k\in \mathbb {N}$，存在一個第$n_{k}\in \mathbb {N}$項，符合$n_{k}\geq k$，令到$|n_{k}-x|\geq \varepsilon$。
• 會存在一個$\varepsilon >0$同埋一個$(x_{n})$嘅子數列$(x_{n_{k}})$，令到所有嘅$k\in \mathbb {N}$符合，$|x_{n_{k}}-x|\geq \varepsilon$。

睇埋

• 數列
• 極限
• 增減數列
• 保西奴-華實斯定理