子羣

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子羣(Subgroup),又寫做子群,係數學抽象代數中嘅一個概念。佢係呢個概念嘅延伸。

每個群,都一定有兩個子群,一個係自己,另一個就係廢群(Trivial group)。

最細嘅子群係廢群,即係。最出名嘅子群係循環群,佢係每一個接觸抽象代數嘅學生第一個研究嘅子群。

定義[編輯]

假設係一個群。

如果嘅子集係一個子群,咁即係話,連帶住嘅群運算,都係一個群。

等價定義[編輯]

子群有三個等價嘅定義。

如果嘅子集同時佢係嘅子群,咁以下條件一定符合:「

  1. 唔係空集。
  2. 會令到
  3. 會令到

子羣要求[編輯]

如果嘅子集要成為一個子羣,可以利用以下其中一個定理。

一步子羣要求[編輯]

係一個羣,係一個非零子集。如果入面,同時都係喺入面,咁係一個子羣。

證明:

因為嘅子集,所以入面嘅運算就係嘅運算。

  • 恆等元:揀任何一粒,將;所以
  • 逆元:;所以
  • 包住:因為,揀;所以

兩步子羣要求[編輯]

係一個羣,係一個非零子集。如果入面,或者入面(係包住),同埋係喺入面,入面,咁係子羣。

證明:

利用一步子羣要求,就會引到

,因為係包住,所以

因此,

有限子羣要求[編輯]

係一個非零有限子集。如果用嘅運算係包住,就係子羣。

證明:

利用兩步子羣要求,只需要證明

如果,咁

如果,考慮,(因為包住)

因為係有限,所以一定有重覆嘅嘢。

,咁

因為,所以同埋

例子[編輯]

有好多喺數學入面常見嘅子群例子。

  • 實數入面,係所有嘅非零實數,佢係一個連帶住一般乘法嘅子群;係所有正實數,佢係嘅子群。
  • 嘅子群係
  • 連帶乘法嘅虛數群會有一個唔係廢嘅子群,佢係

性質[編輯]

子集有佢自己嘅性質,多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設係群,嘅子群,入面嘅嘢。

  1. 都會喺入面。
  2. 都會喺入面。
  3. 。即係入面嘅係等於入面嘅

證明[編輯]



應用[編輯]

上面嘅性質,可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設係群,嘅子群。

  1. 既子群。
  2. 可以唔係嘅子群。如果嘅子群,咁或者一定成立。「
  3. 如果嘅子群,咁嘅子群。

特殊子群[編輯]

以下呢啲子群喺抽象代數入面成日見,同埋係經常會出現。

中心群[編輯]

中心群(Center of G)係一個群。佢係任何一個群嘅子群。

定義[編輯]

任何群。佢所有嘅可溝通元素組成嘅子集就係叫做中心群。一般寫做

性質[編輯]

  • 如果阿標群,咁
  • 如果唔係阿標,咁
  • 嘅子群,而且佢係阿標

圍心群[編輯]

圍心群(Centralizer of a Group element)係一個群。佢係任何一個群嘅子群。

定義[編輯]

任何群入面一粒嘅。將所有可以同溝通嘅元素組成嘅子集就係叫做圍心群。一般寫做

性質[編輯]

  • 嘅子群。

循環群[編輯]

內文: 循環群

佢就係由入面一粒嘅,所產生出嚟嘅群。利用集論嘅概念表達就係就係呢個群嘅慣用表達。

睇埋[編輯]