子羣

子羣（Subgroup），又寫做子群，係數學嘅抽象代數中嘅一個概念。佢係群呢個概念嘅延伸。

每個群$G$，都一定有兩個子群，一個係自己$G$，另一個就係廢群$\{e\}$（Trivial group）。

最細嘅子群係廢群，即係$\{e\}$。最簡單嘅子群係循環群，佢係由一個元素生產出來嘅子群。

定義

假設$G$係一個群。

如果$G$嘅子集$H$係一個子群，咁即係話，連帶住$G$嘅群運算，$H$都係一個群。

等價定義

如果$H$係$G$嘅子集同時佢係$G$嘅子群，等價於$H$同時符合下面三個條件：

1. $H$唔係空集。
2. $x\in H$同$y\in H$會令到$xy\in H$。
3. $x\in H$會令到$x^{-1}\in H$。

子羣要求

如果$G$嘅子集$H$要成為一個子羣，可以利用以下其中一個定理。

一步子羣要求

假設$G$係一個羣，$H$係一個非空子集。如果任意嘅 $a\in H$ 同 $b\in H$ 都令到$ab^{-1}\in H$，咁$H$係一個子羣。

證明：

因為$H$係$G$嘅子集，所以$H$入面嘅運算就係$G$嘅運算。

• 恆等元：由於 $H$ 非空，我哋可以揀一粒$x\in H$，代入 $a=x$，$b=x$；所以$e=xx^{-1}=ab^{-1}\in H$。
• 逆元：頭先我哋證明咗$e\in H$，所以可以揀$a=e$，$b=x$；所以$x^{-1}=ex^{-1}=ab^{-1}\in H$。
• 包住：頭先我哋證明咗逆元會喺 $H$ 入面，所以對任意$x,y\in H$，都有$y^{-1}\in H$，揀$a=x$，$b=y^{-1}$；所以$xy=x(y^{-1})^{-1}=ab^{-1}\in H$。

兩步子羣要求

設$G$係一個羣，$H$係一個非空子集。如果 $H$ 同時符合呢兩個條件，咁 $H$ 就會係子羣：

1. 對任意嘅 $a\in H$ 都有 $a^{-1}\in H$ 。
2. 對任意嘅 $a,b\in H$ 都有 $b^{-1}\in H$。

證明：

利用一步子羣要求，$a,b\in H$就會引到$ab^{-1}\in H$。

設$a,b\in H$，因為$H$係包住，所以$b^{-1}\in H$。

因此，$ab^{-1}\in H$。

有限子羣要求

設$H$係一個非零有限子集。如果用$G$嘅運算$H$係包住，$H$就係子羣。

證明：

利用兩步子羣要求，只需要證明$a^{-1}\in H$。

如果$a=e$，咁$a^{-1}=a$。

如果$a\neq e$，考慮$a,a^{2},a^{3},\dots$，（因為包住）$a,a^{2},a^{3},\dots \in H$。

因為$H$係有限，所以一定有重覆嘅嘢。

將$a^{i}=a^{j}$，$i>j$，咁$a^{i-j}=e$。

因為$a\neq e$，$i-j>1$，所以$a^{i-j-1}=a^{-1}$同埋$i-j-1\geq 1$，$a^{i-j-1}\in H$。

例子

有好多喺數學入面常見嘅子群例子：

• $\mathbb {R}$實數入面，$\mathbb {R} ^{*}$係所有嘅非零實數，佢係一個連帶住一般乘法嘅群；$\mathbb {R} ^{+}$係所有正實數，佢係$\mathbb {R} ^{\star }$嘅子群。
• $(\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{4},+)$有一個子群係$H=\{(0,0),(3,0),(0,2),(3,2)\}$
• 連帶乘法嘅複數群$(\mathbb {C} ,\times )$有唔係廢嘅子群：$\{1,-1,i,-i\}$。

性質

子集有佢自己嘅性質，多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設$G$係群，$H$係$G$嘅子群，$a,b$係$H$入面嘅嘢。

1. $ab$都會喺$H$入面。
2. $a^{-1}$都會喺$H$入面。
3. $e_{G}=e_{H}$。即係$G$入面嘅$e$係等於$H$入面嘅$e$。

證明

證明(1)

因為$a,b$喺$H$入面，而同時$H$都係一個群。

根據包住嘅性質，$a\cdot b$都一定會喺$H$入面。

證明(2)

因為$H$係個群，咁對應每一粒$a\in H$，$a^{-1}$係一定會係$H$入面。

應用

上面嘅性質，可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設$G$係群，$H,K$係$G$嘅子群。

1. $H\cap K$係$G$既子群。
2. $H\cup K$可以唔係$G$嘅子群。$H\cup K$係$G$嘅子群若且唯若$H\subseteq K$或者$K\subseteq H$。
3. 如果$G_{1},H_{1}$係$G,H$嘅子群，咁$G_{1}\times H_{1}$係$G\times H$嘅子群，當中 $\times$ 表示羣嘅直積。

特殊子群

以下呢啲子群喺抽象代數入面成日見：

中心群

中心群（Center of G）係一個群。佢係任何一個群$G$嘅子群。

定義

任何群$G$。佢所有嘅可溝通元素組成嘅子集就係叫做中心群。一般寫做$Z(G)$。

$$Z(G):=\{a\in G|ab=ba,\forall b\in G\}$$

性質

• $G$係阿標群$\iff Z(G)=G$。
• $Z(G)$係$G$嘅子群，而且佢係 normal subgroup。

圍心群

圍心群（Centralizer of a Group element）係一個群。佢係任何一個群$G$嘅子群。

定義

任何群$G$入面一粒嘅$a\in G$。將所有可以同$a$溝通嘅元素組成嘅子集就係叫做圍心群。一般寫做$C_{a}$。

$$C_{a}:=\{b\in G|ab=ba\}$$

性質

• $C_{a}$係$G$嘅子群。

循環群

佢就係由$G$入面一粒嘅$a\in G$，所產生出嚟嘅群。利用集論嘅概念表達就係$\langle a\rangle :=\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}$，$\langle a\rangle$就係呢個群嘅慣用表達。

睇埋

• 群
• 群轉換
• 循環群
• 有限群
• 換位群