子羣(Subgroup),又寫做子群,係數學嘅抽象代數中嘅一個概念。佢係群呢個概念嘅延伸。
每個群
,都一定有兩個子群,一個係自己
,另一個就係廢群
(Trivial group)。
最細嘅子群係廢群,即係
。最簡單嘅子群係循環群,佢係由一個元素生產出來嘅子群。
假設
係一個群。
如果
嘅子集
係一個子群,咁即係話,連帶住
嘅群運算,
都係一個群。
等價定義[編輯]
如果
係
嘅子集同時佢係
嘅子群,等價於
同時符合下面三個條件:
唔係空集。
同
會令到
。
會令到
。
子羣要求[編輯]
如果
嘅子集
要成為一個子羣,可以利用以下其中一個定理。
一步子羣要求[編輯]
假設
係一個羣,
係一個非空子集。如果任意嘅
同
都令到
,咁
係一個子羣。
證明:
因為
係
嘅子集,所以
入面嘅運算就係
嘅運算。
- 恆等元:由於
非空,我哋可以揀一粒
,代入
,
;所以
。
- 逆元:頭先我哋證明咗
,所以可以揀
,
;所以
。
- 包住:頭先我哋證明咗逆元會喺
入面,所以對任意
,都有
,揀
,
;所以
。
兩步子羣要求[編輯]
設
係一個羣,
係一個非空子集。如果
同時符合呢兩個條件,咁
就會係子羣:
- 對任意嘅
都有
。
- 對任意嘅
都有
。
證明:
利用一步子羣要求,
就會引到
。
設
,因為
係包住,所以
。
因此,
。
有限子羣要求[編輯]
設
係一個非零有限子集。如果用
嘅運算
係包住,
就係子羣。
證明:
利用兩步子羣要求,只需要證明
。
如果
,咁
。
如果
,考慮
,(因為包住)
。
因為
係有限,所以一定有重覆嘅嘢。
將
,
,咁
。
因為
,
,所以
同埋
,
。
有好多喺數學入面常見嘅子群例子:
實數入面,
係所有嘅非零實數,佢係一個連帶住一般乘法嘅群;
係所有正實數,佢係
嘅子群。
有一個子群係
- 連帶乘法嘅複數群
有唔係廢嘅子群:
。
子集有佢自己嘅性質,多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設
係群,
係
嘅子群,
係
入面嘅嘢。
都會喺
入面。
都會喺
入面。
。即係
入面嘅
係等於
入面嘅
。
上面嘅性質,可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設
係群,
係
嘅子群。
係
既子群。
可以唔係
嘅子群。
係
嘅子群若且唯若
或者
。
- 如果
係
嘅子群,咁
係
嘅子群,當中
表示羣嘅直積。
特殊子群[編輯]
以下呢啲子群喺抽象代數入面成日見:
中心群[編輯]
中心群(Center of G)係一個群。佢係任何一個群
嘅子群。
任何群
。佢所有嘅可溝通元素組成嘅子集就係叫做中心群。一般寫做
。

係阿標群
。
係
嘅子群,而且佢係 normal subgroup。
圍心群[編輯]
圍心群(Centralizer of a Group element)係一個群。佢係任何一個群
嘅子群。
任何群
入面一粒嘅
。將所有可以同
溝通嘅元素組成嘅子集就係叫做圍心群。一般寫做
。

係
嘅子群。
循環群[編輯]
- 內文:循環群
佢就係由
入面一粒嘅
,所產生出嚟嘅群。利用集論嘅概念表達就係
,
就係呢個群嘅慣用表達。