子羣

出自維基百科,自由嘅百科全書
跳去導覽 跳去搵嘢

子羣(Subgroup),又寫做子群,係數學抽象代數中嘅一個概念。佢係呢個概念嘅延伸。

每個群,都一定有兩個子群,一個係自己,另一個就係廢群(Trivial group)。

最細嘅子群係廢群,即係。最簡單嘅子群係循環群,佢係由一個元素生產出來嘅子群。

定義[編輯]

假設係一個群。

如果嘅子集係一個子群,咁即係話,連帶住嘅群運算,都係一個群。

等價定義[編輯]

如果嘅子集同時佢係嘅子群,等價於同時符合下面三個條件:

  1. 唔係空集。
  2. 會令到
  3. 會令到

子羣要求[編輯]

如果嘅子集要成為一個子羣,可以利用以下其中一個定理。

一步子羣要求[編輯]

假設係一個羣,係一個非空子集。如果任意嘅 都令到,咁係一個子羣。

證明:

因為嘅子集,所以入面嘅運算就係嘅運算。

  • 恆等元:由於 非空,我哋可以揀一粒,代入 ;所以
  • 逆元:頭先我哋證明咗,所以可以揀;所以
  • 包住:頭先我哋證明咗逆元會喺 入面,所以對任意,都有,揀;所以

兩步子羣要求[編輯]

係一個羣,係一個非空子集。如果 同時符合呢兩個條件,咁 就會係子羣:

  1. 對任意嘅 都有
  2. 對任意嘅 都有

證明:

利用一步子羣要求,就會引到

,因為係包住,所以

因此,

有限子羣要求[編輯]

係一個非零有限子集。如果用嘅運算係包住,就係子羣。

證明:

利用兩步子羣要求,只需要證明

如果,咁

如果,考慮,(因為包住)

因為係有限,所以一定有重覆嘅嘢。

,咁

因為,所以同埋

例子[編輯]

有好多喺數學入面常見嘅子群例子:

  • 實數入面,係所有嘅非零實數,佢係一個連帶住一般乘法嘅群;係所有正實數,佢係嘅子群。
  • 有一個子群係
  • 連帶乘法嘅複數群有唔係廢嘅子群:

性質[編輯]

子集有佢自己嘅性質,多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設係群,嘅子群,入面嘅嘢。

  1. 都會喺入面。
  2. 都會喺入面。
  3. 。即係入面嘅係等於入面嘅

證明[編輯]

應用[編輯]

上面嘅性質,可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設係群,嘅子群。

  1. 既子群。
  2. 可以唔係嘅子群。嘅子群若且唯若或者
  3. 如果嘅子群,咁嘅子群,當中 表示羣嘅直積

特殊子群[編輯]

以下呢啲子群喺抽象代數入面成日見:

中心群[編輯]

中心群(Center of G)係一個群。佢係任何一個群嘅子群。

定義[編輯]

任何群。佢所有嘅可溝通元素組成嘅子集就係叫做中心群。一般寫做

性質[編輯]

  • 阿標群
  • 嘅子群,而且佢係 normal subgroup

圍心群[編輯]

圍心群(Centralizer of a Group element)係一個群。佢係任何一個群嘅子群。

定義[編輯]

任何群入面一粒嘅。將所有可以同溝通嘅元素組成嘅子集就係叫做圍心群。一般寫做

性質[編輯]

  • 嘅子群。

循環群[編輯]

內文: 循環群

佢就係由入面一粒嘅,所產生出嚟嘅群。利用集論嘅概念表達就係就係呢個群嘅慣用表達。

睇埋[編輯]