希爾伯特問題

希爾伯特問題（英文：Hilbert's problems），係德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）喺1900年提出嘅23條重要數學問題。呢23條問題涵蓋咗數學嘅唔同領域，包括數學基礎、數論、代數、幾何同埋數學分析。希爾伯特提出呢啲問題嘅目的，係想指引20世紀數學研究嘅發展方向。

喺20世紀期間，經過世界各地數學家嘅努力，呢23條問題大部份都經已解決咗、或者被證實係冇辦法證明（即係不可判定問題）。呢啲問題嘅研究過程，推動咗現代數學（特別係集合論、數理邏輯同拓撲學）嘅發展。

歷史背景

喺1900年8月8號，第二屆國際數學家大會（International Congress of Mathematicians，ICM）喺巴黎舉行。希爾伯特喺會上面發表咗一場名為《數學問題》（法文：Sur les problèmes futurs des mathématiques）嘅演講。

希爾伯特喺演講裏面強調，一個偉大嘅學科需要有重要嘅問題去引領：「只要一個科學分支仲有豐富嘅問題，佢就會充滿生命力；如果缺乏問題，就代表佢獨立發展嘅終結或者停滯。」

佢當時列出咗10條問題（問題 1、2、6、7、8、13、16、19、21 同 22），而喺打後出版嘅演講辭入面，佢將清單擴充到23條。

23條問題一覽

希爾伯特嘅23條問題可以根據佢哋涉及嘅領域，大致分為四大類：

數學基礎與邏輯

呢類問題主要探討數學本身嘅嚴密性同集合論。

• 第1題：連續統假設（Continuum Hypothesis）：證明喺自然數嘅基數同實數嘅基數之間，冇其他更大或者更細嘅無限基數。
  • 現狀： 1940年哥德爾同1963年保羅·寇恩（Paul Cohen）先後證明咗，呢條假設喺現有嘅ZFC集合論入面係「不可判定」嘅，即係話你假設佢啱或者錯，都唔會引起矛盾。
• 第2題：算術公理嘅相容性：證明算術公理系統係唔會產生矛盾嘅。
  • 現狀： 畀哥德爾嘅不完備定理部分否定咗。哥德爾證明咗，一個包含基本算術嘅公理系統，冇辦法喺自己系統內部證明自己嘅相容性。

數論同代數

呢類問題關乎質數、代數數同埋方程式嘅解法。

• 第7題：無理數同超越數嘅無理性與超越性：如果 $\alpha \neq 0,1$ 係代數數，而 $\beta$ 係無理數，咁樣 $\alpha ^{\beta }$ 係咪一定係超越數？
  • 現狀： 喺1934年畀亞歷山大·格爾豐德（Aleksandr Gelfond）同狄奧多·施耐德（Theodor Schneider）獨立解決咗，稱為格爾豐德-施耐德定理。
• 第8題：黎曼猜想（Riemann Hypothesis）同其他質數問題：包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）同埋孿生質數猜想。
  • 現狀： 三個問題都未解決。呢個係希爾伯特問題入面最出名、亦係最難嘅一條，黎曼猜想而家被列入千禧年大獎問題之一。
• 第10題：丟番圖方程式（Diophantine equations）嘅可解性：搵出一個演算法，去判斷任何一條有任意多個未知數嘅丟番圖方程式係咪有整數解。
  • 現狀： 1970年畀蘇聯數學家尤里·馬蒂亞謝維奇（Yuri Matiyasevich）否定咗。佢證明咗呢種通用演算法係唔存在嘅。

幾何與物理

呢類問題嘗試將幾何公理化，同埋處理現實世界嘅物理問題。

• 第3題：兩個多面體體積相等：兩個體積一樣嘅多面體，係咪一定可以切開成有限個細多面體，再拼返埋做對方？
  • 現狀： 喺1900年即刻畀希爾伯特嘅學生馬克斯·德恩（Max Dehn）用反例否證。呢條係23條問題裏面最早被解決嘅。
• 第6題：物理學公理化：將物理學（特別係力學同概率論）建立喺嚴格嘅公理體系之上。
  • 現狀： 部分解決。雖然柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）喺1933年成功將概率論公理化，但由於現代物理（例如量子力學同廣義相對論）嘅發展，物理學整體公理化仲未完全行得通。

數學分析

呢類問題主要涉及微積分、變分法同微分方程式。

• 第19題：拉格朗日系統中嘅解係咪必定解析：證明所有拉格朗日系統嘅解係咪必定係解析函數（analytic function）。
  • 現狀： 1957年由恩里科·德喬治（Enrico De Giorgi）同約翰·納殊（John Nash）獨立用唔同方法解決，證實咗喺一定條件下答案係肯定嘅。
• 第22題：用自守函數將解析關係一致化：將任何兩個代數變量之間嘅解析關係，用單變量嘅自守函數（automorphic function）嚟表達。
  • 現狀： 喺1907年由亨利·龐加萊（Henri Poincaré）同保羅·克伯（Paul Koebe）部份解決。

影響

希爾伯特問題對20世紀數學發展嘅貢獻不可估量。佢跳出咗當時數學界過分專注於微觀細節嘅風氣，企喺宏觀嘅高度去審視成個學科嘅體系。

因為為咗解開呢23條問題，數學家被迫發明咗好多全新嘅數學工具，催生咗好幾個重要嘅數學分支：

1. 數理邏輯與計算理論：對第1、第2同第10題嘅研究，直接導致咗可計算性理論嘅誕生，為後嚟嘅電腦科學（例如圖靈機）打下理論基礎。
2. 代數幾何：第15題（舒伯特計數幾何嘅基礎）同第16題（代數曲線與曲面嘅拓撲研究）推動咗20世紀代數幾何嘅革命。
3. 泛函分析：第19同23題（關於變分法）促進咗偏微分方程式理論同現代泛函分析嘅發展。

雖然有部分問題到今日仲未解到，但「希爾伯特問題」依然係數學史上最成功嘅「問題清單」，徹底改變咗現代數學嘅面貌。

睇埋

• 希爾伯特
• 千禧年大獎問題
• 哥德爾不完備定理

伸延閱讀

• Grattan-Guinness, Ivor (2000). The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton University Press. ISBN 0-691-05858-X.
• Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1-56881-148-6. {{cite book}}: Check |isbn= value: checksum (help)