幺半範疇

幺半範疇（monoidal category）係有二元運算（「乘積」）嘅範疇，可以當做幺半羣嘅範疇化。

一種常見嘅幺半範疇係張量範疇：渠同時有直和同張量積，可當做環嘅範疇化。

定義

定義

張量範疇係序列 (C, ◇ , α,１, λ ρ )，其中

• C 係一範疇；
• ◇ 係雙函子 (en:bifunctor): C x C ---> C: (U,V)|--->U◇V；
• α_U,V,W: (U◇V)◇W ---> U◇(V◇W) 係一系列自然態射 (natural isomorphism)，叫結合態射 (associativity morphism / associativity constraint)；
• １係 C 中一物，叫「單位物」；
• λ_U: １◇ U ---> U；其中 U 係 C 中物； 係一系列自然態射 (natural isomorphism)
• 同樣，ρ _V : V◇１--->V 係一系列自然態射；

同時，呢的結構符合：

• 五角型公理：

• 單位公理：

設

• C, C' 係兩幺半範疇

定義

幺半函子Φ:C--->C' 係一函子，保存住 C、C' 上兩種幺半結構。

嚴幺半範疇 (strict monoidal category)

嚴幺半範疇 (strict monoidal category) 係一幺半範疇，其中全部 ρ 同λ 態射都係恆等態射。

MacLane 一致性定理 (MacLane coherence theorem) 話：每幺半範疇都等價於一嚴幺半範疇。

重構定理

參閱：田中-Krein對偶律
一般，若果有一Hopf代數，渠嘅表示形成一剛幺半範疇。

掉返轉頭，由一剛幺半範疇，我地可重構番個Hopf 代數。

設

• r 係交換環
• M 係 r 上有限生成嘅射影模(projective modules)組成嘅範疇（例如：若 r 係一域，咁 M 入面嘅模就係 r 上嘅有限維線性空間）；
• C 係範疇，基本上係細嘅 （即：C 等價於一細範疇）；
  • C 係 r-線性範疇；
  • C 係剛硬阿貝爾幺半範疇；
• F : C---> M 係一正合(exact) 、忠實(faithful)、r-線性嘅幺半函子；

咁就

• 存在r 上嘅 Hopf代數 A 同埋 r-線性嘅 範疇 同構 C--->corep_A，令到 (C--->corep_A --->M) = F
  • 其中 corep 係 r-射影、有限生成嘅 A-逆模(A-en:comodules)組成嘅範疇，
  • corep ---> M 係無記性函子(forgetful functor)。

例

辮範疇

braid

纏繞

纏繞 有向纏繞 絲帶纏繞

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註

• Saunders MacLane (1997),《Categories for the Working Mathematician》, （第二版；第一版 1971年）, Springer Verlag, ISBN 0-387-98403-8 , pp. 161-...
• Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley, 《A Guide to Quantum Groups》, 劍橋，ISBN 0-521-55884-0 , pp. 136-...