循環無窮分數

循環無窮分數（Periodic Continued Fraction）係無窮分數嘅其中一種，就好似循環小數咁，係無窮分數嘅表達方法，佢有啲位置係會循環。

定義

一個循環無窮分數$[a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n},\cdots ]$，對應一個不變嘅$h$同一個夠大既$n$，會滿足$a_{n}=a_{n+h}$。

一般會叫$h$做呢個循環嘅周期。

例子：$[{\overline {1,2}}]=[1,2,1,2,1,2,\cdots ]$

$$[{\overline {1,2}}]=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+\cdots }}}}}}$$

因為$x=[{\overline {1,2}}]=[1,2,[{\overline {1,2}}]]=[1,2,x]$，所以

$$x=[{\overline {1,2}}]=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{x}}}}$$

計算

$${\begin{aligned}x&=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{x}}}}\\x&=1+{\frac {1}{{\frac {2x}{x}}+{\frac {1}{x}}}}\\x&=1+{\frac {1}{\frac {2x+1}{x}}}\\x&=1+{\frac {x}{2x+1}}\\x&={\frac {2x+1}{2x+1}}+{\frac {x}{2x+1}}\\x&={\frac {2x+1+x}{2x+1}}\\x(2x+1)&=3x+1\\2x^{2}+x&=3x+1\\2x^{2}-2x-1&=0\\x&={\frac {2\pm {\sqrt {4+8}}}{4}}\\x&={\frac {2+2{\sqrt {3}}}{4}}\\x&={\frac {1+{\sqrt {3}}}{2}}\end{aligned}}$$

循環無窮性質

循環無窮有一個決定性嘅條件，去決定一個數字係唔係可以寫成循環分數。

二次無理數

一個無理數$x\in \mathbb {R}$係二次無理數或平方無理數（Quadratic Irrational），咁即係話佢係一條二次多項式（Quadratic Polynomial）嘅根（Root），而呢個多項式係喺$\mathbb {Q}$上面嘅，即係每一個項嘅常數都係$a_{n}\in \mathbb {Q}$。

循環無窮性質

一個無限無窮簡單無窮分數係一個循環分數，咁佢一定（$\iff$）係平方無理數。

睇埋

• 無窮分數
• 局部趨向
• 局部趨向數列
• 無窮分數趨向性
• $e$嘅無窮分數
• 兩個平方之和