微分方程

微分方程（英文：differential equation）係方程嘅一種，講未知函數同佢自己嘅導數之間關係。佢同積分方程好密切。微分方程有兩大種：一種係常微分方程，一種係偏微分方程。另外再可以根據唔同特性（例如階數同次數）嚟細分佢哋。

微分方程喺實際應用嘅範圍好廣，除咗數學之外，喺科學、工程學、經濟學等等嘅範疇亦都有廣泛嘅用途。

微分方程解法大全

一階常微分方程

變量分離法

適用喺可以分離一階一次常微分方程。假設嗰條微分方程係 $g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)$ 嘅樣（例如 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {2y}{3x+1}}$），就可以將嗰條微分方程啲 $x$ 項（計埋 $dx$）同埋啲 $y$ 項（計埋 $dy$）分開擗埋兩邊，然後兩邊一齊積鬼咗佢。冇邊界條件就一齊用不定積分，有邊界條件就一齊用定積分，辟如當 $y(x_{0})=y_{0}$ 嘅時候，啲 $x$ 項嗰邊就由 $x_{0}$開始積起，啲 $y$ 項嗰邊就由 $y_{0}$開始積起，然後再將啲積咗嘅項調下位，執靚佢（顯函數就儘量寫成 $y=f(x)$ 嘅樣，隱函數就儘量寫成 $g(y)=f(x)$ 嘅樣），噉就完事。

例子

冇邊界條件

• 解 $y'-2x-1=0$

${dy \over dx}-2x-1=0$

${dy \over dx}=2x+1$

$dy=(2x+1)\ dx$

$\int dy=\int (2x+1)\ dx$

$y=x^{2}+x+C$（係二次方程）

• 解 $x+y\ y'=0$

$x+y\ {dy \over dx}=0$

$y\ {dy \over dx}=-x$

$y\ dy=-x\ dx$

$\int y\ dy=\int -x\ dx$

${1 \over 2}y^{2}=-{1 \over 2}x^{2}+C$

$y^{2}=-x^{2}+C$

$x^{2}+y^{2}=C$（係圓方程）

有邊界條件

• 解 ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}y={\frac {3}{2}}$，其中喺 $x=0$ 嘅時候 $y=4$。

${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{2}}y={\frac {3}{2}}$

${\frac {dy}{3-y}}={\frac {dx}{2}}$

$\int _{4}^{y}{\frac {dy}{3-y}}=\int _{0}^{x}{\frac {dx}{2}}$

$[\ln(y-3)]_{4}^{y}=[{\frac {x}{2}}]_{0}^{x}$

$\ln(y-3)-0={\frac {x}{2}}-0$

$y-3=e^{-{\frac {x}{2}}}$

$y=e^{-{\frac {x}{2}}}+3$

• 解 ${\frac {dy}{dx}}-2xy=x$，其中喺 $x=0$ 嘅時候 $y=0$。

${\frac {dy}{dx}}-2xy=x$

${\frac {dy}{dx}}=x(2y+1)$

${\frac {dy}{2y+1}}=xdx$

$\int _{0}^{y}{\frac {dy}{2y+1}}=\int _{0}^{x}{xdx}$

$[{\frac {1}{2}}\ln |2y+1|]_{0}^{y}=[{\frac {x^{2}}{2}}]_{0}^{x}$

${\frac {1}{2}}\ln |2y+1|={\frac {x^{2}}{2}}$

$2y+1=e^{x^{2}}$

$y={\frac {e^{x^{2}}}{2}}-{\frac {1}{2}}$

積分因子法

適用喺唔可以分離嘅一階常微分方程。對於個樣係 ${\frac {dy}{dx}}+p(x)y=g(x)$ 嘅微分方程，呢條方程嘅積分因子就係 $\mu (x)=e^{\int {p(x)}dx}$ （如果冇邊界條件）或者 $\mu (x)=e^{\int _{x_{0}}^{x}{p(x)}dx}$ （如果有邊界條件）。之後條方程就會變咗做一個相對容易解嘅樣：${\frac {d}{dx}}[\mu (x)y]=\mu (x)g(x)$。最後用普通嘅積分就可以解咗佢。

例子

冇邊界條件

• 解 $y'-3y=4e^{2x}$

$\mu (x)$

$=e^{\int (-3)dx}$

$=e^{-3x}$

i.e.

${\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)=e^{-3x}\cdot 4e^{2x}$

${\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)=4e^{-x}$

$\int {{\frac {d}{dx}}(e^{-3x}y)}dx=\int {4e^{-x}}dx$

$e^{-3x}y=-4e^{-x}+C$

$y=-4e^{2x}+Ce^{3x}$

有邊界條件

• 解 ${\frac {dy}{dx}}-2xy=xe^{-x^{2}}$，其中喺 $x=1$ 嘅時候 $y=0$。

$\mu (x)$

$=e^{\int _{1}^{x}(-2x)dx}$

$=e^{[-x^{2}]_{1}^{x}}$

$=e^{1-x^{2}}$

i.e.

${\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)=e^{1-x^{2}}\cdot xe^{-x^{2}}$

${\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)=xe^{1-2x^{2}}$

$\int _{1}^{x}{{\frac {d}{dx}}(e^{1-x^{2}}y)}dx=\int _{1}^{x}{xe^{1-2x^{2}}}dx$

$[e^{1-x^{2}}y]_{1}^{x}=[-{\frac {1}{4}}e^{1-2x^{2}}]_{1}^{x}$

$e^{1-x^{2}}y={\frac {1}{4}}e^{-1}-{\frac {1}{4}}e^{1-2x^{2}}$

$y={\frac {1}{4}}e^{x^{2}-2}-{\frac {1}{4}}e^{-x^{2}}$

全微分方程

對於只有兩個變量嘅函數 $V(x,y)$，佢嘅全微分係 $dV={\frac {\partial V}{\partial x}}dx+{\frac {\partial V}{\partial y}}dy$。留意當 $V(x,y)=C$，其中 $C$ 係常數時，我哋會有 $dV={\frac {\partial V}{\partial x}}dx+{\frac {\partial V}{\partial y}}dy=0$，而後者可以寫成一絛常微分方程嘅樣，即係 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\left({\frac {\partial V}{\partial y}}\right)}}$，因為 ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ 同埋 ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ 都係對應剩係 $x$ 同埋 $y$ 嘅函數。

所以，當一條微分方程 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f(x,y)}{g(x,y)}}$，或者 $f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$，可以寫成 ${\frac {\partial V}{\partial x}}dx+{\frac {\partial V}{\partial y}}dy=0$，我哋就可以將佢寫成 $dV=0$，然後再積一次就可以得到 $V(x,y)=C$，其中 $C$ 係任意常數。如果係有邊界嘅情況，就可以將邊界條件擠埋落去嚟斷定個 $C$，噉就完事。

而家剩返要做嘅嘢就係要斷定到底 $f(x,y)$ 同埋 $g(x,y)$ 會唔會令到條微分方程係一條全微分方程。根據克萊洛定理，$V$ 嘅二階混合導數係對稱嘅，即係 ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\partial x}}$。但係同時，如果 $f(x,y)$ 同埋 $g(x,y)$ 令到條微分方程係一條全微分方程嘅話，我哋會有 ${\frac {\partial V}{\partial x}}=f(x,y)$ 同埋 ${\frac {\partial V}{\partial y}}=g(x,y)$，再加埋 ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}$ 同埋 ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial V}{\partial y}}\right)={\frac {\partial g(x,y)}{\partial x}}$，我哋可以得出個條件係 ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial x}}$。

例子

冇邊界條件

• 解 $(3x^{2}y+y^{3})dx+(x^{3}+3xy^{2})dy=0$

我哋可以發現 ${\frac {\partial }{\partial y}}(3x^{2}y+y^{3})={\frac {\partial }{\partial x}}(x^{3}+3xy^{2})=3x^{2}+3y^{2}$。所以，呢條方程就係一條全微分方程。噉我哋就假設有一個多變量函數 $V(x,y)$ 令到 ${\frac {\partial V}{\partial x}}=3x^{2}y+y^{3}$ 同埋 ${\frac {\partial V}{\partial y}}=x^{3}+3xy^{2}$。

我哋首先積 $x$ 嗰邊，就有：

${\frac {\partial V}{\partial x}}=3x^{2}y+y^{3}$

$V=x^{3}y+xy^{3}+f(y)$，其中 $f(y)$ 係一個只對應 $y$ 嘅函數。

跟住，我哋考慮 $y$ 嗰邊，再將呢個結果塞入去，就會有：

${\frac {\partial V}{\partial y}}=x^{3}+3xy^{2}$

$x^{3}+3xy^{2}+{\frac {df}{dy}}=x^{3}+3xy^{2}$

${\frac {df}{dy}}=0$

$f(y)=C$，其中 $C$ 係常數。

所以 $V(x,y)=x^{3}y+xy^{3}+C$，而條微分方程嘅解就係 $x^{3}y+xy^{3}=C$，其中 $C$ 係常數。

• 解 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2xy+5}{x^{2}+8y}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {2xy+5}{x^{2}+8y}}$

$(x^{2}+8y)dy=-(2xy+5)dx$

$(2xy+5)dx+(x^{2}+8y)dy=0$

我哋可以發現 ${\frac {\partial }{\partial y}}(2xy+5)={\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+8y)=2x$。所以，呢條方程就係一條全微分方程。噉我哋就假設有一個多變量函數 $V(x,y)$ 令到 ${\frac {\partial V}{\partial x}}=2xy+5$ 同埋 ${\frac {\partial V}{\partial y}}=x^{2}+8y$。

我哋首先積 $y$ 嗰邊，就有：

${\frac {\partial V}{\partial y}}=x^{2}+8y$

$V=x^{2}y+4y^{2}+f(x)$，其中 $f(x)$ 係一個只對應 $x$ 嘅函數。

跟住，我哋考慮 $y$ 嗰邊，再將呢個結果塞入去，就會有：

${\frac {\partial V}{\partial x}}=2xy+5$

$2xy+{\frac {df}{dx}}=2xy+5$

${\frac {df}{dx}}=5$

$f(x)=5x+C$，其中 $C$ 係常數。

所以 $V(x,y)=x^{2}y+4y^{2}+5x+C$，而條微分方程嘅解就係 $x^{2}y+4y^{2}+5x+C$，其中 $C$ 係常數。

全微分方程嘅積分因子

好多時候，一條一階微分方程 $f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$ 唔會咁容易滿足上面所講嘅條件，因為全世界有太多唔同嘅 $f(x,y)$ 同埋 $g(x,y)$ 可以揀，所以其實只有好少機會可以撞啱 ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial x}}$ 呢個條件。因為噉樣，我哋需要一個有系統嘅方法嚟將一般嘅一階微分方程轉換做一條全微分方程。而呢個方法同前上面講嘅方法都有啲似，又係積分因子法。不過，今次我哋嘅假設同上面有少少唔同。上面我哋假設嘅積分因子係 $\mu (x)$，呢個係一個只對應 $x$ 嘅單變量函數。但係，今次我哋假設嘅積分因子係 $\mu (x,y)$，而呢個係一個又對應 $x$ 又對應 $y$ 嘅多變量函數。

將 $\mu (x,y)$ 乘落 $f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$ 嘅兩邊，我哋有：

$\mu fdx+\mu gdy=0$

要令到呢條係一條全微分方程，我哋有：

${\frac {\partial (\mu f)}{\partial y}}={\frac {\partial (\mu g)}{\partial x}}$

$\mu {\frac {\partial f}{\partial y}}+f{\frac {\partial \mu }{\partial y}}=\mu {\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial \mu }{\partial x}}$

一般嚟講，呢條方程係難解過完本嘅方程。但係，喺某啲特殊情況下，呢條方程係會相對嚟講容易啲解。以下會講三種情況，每種情況分別假設 $\mu =\mu (x)$，$\mu =\mu (y)$ 同埋 $\mu =x^{\alpha }y^{\beta }$。

首先，我哋睇幾時 $\mu$ 係一個只對應 $x$ 嘅函數，亦即係 $\mu =\mu (x)$。喺呢個情況下，${\frac {\partial \mu }{\partial y}}=0$，而且 ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {d\mu }{dx}}$。所以，條式就變成：

$\mu {\frac {\partial f}{\partial y}}=\mu {\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {d\mu }{dx}}$

${\frac {d\mu }{dx}}+\left[{\frac {1}{g}}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\right]\mu =0$

因為 $\mu$ 同埋 ${\frac {d\mu }{dx}}$ 都係只對應 $x$ 嘅函數，如果想呢條方程有一個非零解，噉 ${\frac {1}{g}}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$ 就要係一個只對應 $x$ 嘅函數。因此，如果 ${\frac {1}{g}}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$ 係一個只對應 $x$ 嘅函數，噉 $\mu =\mu (x)$，即係一個只對應 $x$ 嘅函數，就已經可以做嗰條微分方程嘅積分因子。

跟著，我哋睇幾時 $\mu$ 係一個只對應 $y$ 嘅函數，亦即係 $\mu =\mu (y)$。喺呢個情況下，${\frac {\partial \mu }{\partial x}}=0$，而且 ${\frac {\partial \mu }{\partial y}}={\frac {d\mu }{dy}}$。所以，條式就變成：

$\mu {\frac {\partial f}{\partial y}}+f{\frac {d\mu }{dy}}=\mu {\frac {\partial g}{\partial x}}$

${\frac {d\mu }{dy}}+\left[{\frac {1}{f}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)\right]\mu =0$

因為 $\mu$ 同埋 ${\frac {d\mu }{dy}}$ 都係只對應 $y$ 嘅函數，如果想呢條方程有一個非零解，噉 ${\frac {1}{f}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)$ 就要係一個只對應 $y$ 嘅函數。因此，如果 ${\frac {1}{f}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {\partial g}{\partial x}}\right)$ 係一個只對應 $y$ 嘅函數，噉 $\mu =\mu (y)$，即係一個只對應 $y$ 嘅函數，就已經可以做嗰條微分方程嘅積分因子。

一階齊次方程

假設 $M(x,y)$ 同埋 $N(x,y)$ 係兩個對應 $x$ 同埋 $y$ 嘅同次數齊次函數，噉 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 就係一條一階齊次方程。而呢條方程亦都可以寫成 ${\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {y}{x}}\right)$ 嘅樣。

要解呢一類方程，我哋要假設 $v={\frac {y}{x}}$，亦即係 $y=vx$，跟著我哋會有：

${\frac {dy}{dx}}=v+x{\frac {dv}{dx}}$

將呢個結果代返落條式度，就有：

$v+x{\frac {dv}{dx}}=f(v)$

${\frac {dv}{dx}}={\frac {f(v)-v}{x}}$

我哋成功將佢變咗做一條可以分離一階一次常微分方程，之後再用前面講過嘅變量分離法嚟解咗佢，噉就完事。

二階常微分方程

特徵方程法

適用喺常係數嘅線性齊次微分方程，尤其喺二階或以上微分方程度用到。因為函數 $y=e^{rx}$ （$r$ 係任意常數） 滿足微分方程 ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=r^{n}y$，所以喺解二階一次常微分方程 $a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$ 嘅時候，我哋可以假設個答案係 $y=Ce^{rx}$ 個樣 （$C$ 係任意常數），噉就可以將條微分方程變做一條二次方程 $ar^{2}+br+c=0$。解咗呢條二次方程就可以搵到條微分方程個通解，每個二次方程嘅一個解都對應住通解裏面嘅一個項。

要留意如果條二次方程有重複解，個通解裏面嘅其中一個項係 $Cxe^{rx}$，其中 $r$ 係條二次方程嘅重複根。而如果條二次方程有複數解，就利用歐拉公式將個 $r$ 裏面嘅純虛部分變做三角函數。

例子

冇邊界條件

• 解 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-6{\frac {dy}{dx}}+8y=0$

假設個函數係 $y=Ce^{rx}$ 可以得到特徵方程：

$r^{2}-6r+8=0$

$(r-2)(r-4)=0$

$r=2$ 或者 $r=4$

將呢兩個解塞返落 $y=Ce^{rx}$ 呢個假設度，就可以得到通解係 $y=Ae^{2x}+Be^{4x}$，其中 $A$ 同 $B$ 都係任意常數。

有邊界條件

• 解 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2{\frac {dy}{dx}}+3y=0$，$y(0)=1$，$y'(0)=0$。

假設個函數係 $y=Ce^{rx}$ 可以得到特徵方程：

$r^{2}-2r+3=0$

$r={\frac {-(-2)\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4(1)(3)}}}{2(1)}}$

$r=1\pm {\sqrt {2}}i$

將呢兩個解塞返落 $y=Ce^{rx}$ 呢個假設度，就可以得到通解係 $y=Ae^{(1+{\sqrt {2}}i)x}+Be^{(1-{\sqrt {2}}i)x}$，再用歐拉公式可以得到個通解係 $y=Ae^{x}(\cos {\sqrt {2}}x+i\sin {\sqrt {2}}x)+Be^{x}(\cos {\sqrt {2}}x-i\sin {\sqrt {2}}x)$。因為個函數係實函數，我哋可以直接忽略純虛部分，假設個函數係 $y=A'e^{x}\cos {\sqrt {2}}x+B'e^{x}\sin {\sqrt {2}}x$。 根據邊界條件，有：

${\begin{aligned}&1=A'e^{0}\cos {\sqrt {2}}(0)+B'e^{0}\sin {\sqrt {2}}(0)\\&0=A'e^{0}\cos {\sqrt {2}}(0)-A'e^{0}\sin {\sqrt {2}}(0)+B'e^{0}\sin {\sqrt {2}}(0)+B'e^{0}\cos {\sqrt {2}}(0)\end{aligned}}$

解方程可以得到 $A'=1$ 同埋 $B'=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$。所以個方程嘅解就係 $y=e^{x}\cos {\sqrt {2}}x-{\frac {\sqrt {2}}{2}}e^{x}\sin {\sqrt {2}}x$。

拉普拉斯變換法

適用於二階一次常微分方程，睇拉普拉斯變換。