洛倫茲系統

洛倫茲系統畫出嚟嘅圖，被指形狀有啲似一隻蝴蝶。

洛倫茲系統（粵音：lok6 leon4 zi1 hai6 tung2；英文：Lorenz system），佢嗰個混沌嘅解答就叫洛倫茲吸引子，係一組好出名嘅常微分方程。呢個系統係蝴蝶效應嘅一個出名例子，只要初始條件嘅數值變咗少少，成個系統嘅狀態就會出現極端嘅變化。

背景

睇埋：混沌理論同愛德華·諾頓·洛倫茲

事源係喺 1960 年代初，當時美國氣象學家愛德華·諾頓·洛倫茲响度做研究，想用數學模型嚟模擬天氣點樣變化，佢當時用咗洛倫茲系統，成個數學模型有三條微分方程咁少：

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x)\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z\end{aligned}}$

當中 $x,y,z$ 係個模型模擬緊嗰三個變數。$t$ 係指時間，而 $\sigma ,\rho ,\beta$ 就係模型嘅參數，呢啲參數嘅值由研究者事先指定。呢個系統屬於動態系統，能夠隨時間而變化，呢點由每條式左手邊嗰嚿（掕住 $dt$ 嗰嚿）反映，每條式左手邊嗰嚿係指嗰一個變數「隨時間變化嘅率」—用日常化嘅語言嚟講，上便第一條式入便嗰嚿

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

可以理解做「$x$ 隨時間變化嘅率」噉嘅意思，而喺洛倫茲系統入邊，呢嚿嘢嘅數值等如 $\sigma$ 乘以 $y-x$ 。

原則上，研究者攞住呢個模型，靠住佢對氣象學嘅認識設定晒啲參數嘅數值，又設好晒變數喺初頭（$t=0$）嗰時嘅數值（初始條件），就可以郁手行電腦模擬，叫電腦計吓呢三個變數會點樣隨住時間過去（$t$ 數值慢慢升）而變化，並且將三個變數喺每一個時間點嘅數值一行行噉印出嚟。印出嚟嘅結果會係類似噉嘅格式：

 當 t = 0, x = ..., y = ..., z = ...
 當 t = 1, x = ..., y = ..., z = ...
 當 t = 2, x = ..., y = ..., z = ...
 當 t = 3, x = ..., y = ..., z = ...
 ...

洛倫茲佢行咗個模型幾次，次次都入咗唔同嘅變數初始數值。佢發現咗一樣奇怪嘅嘢：佢發覺設下嘅初始數值變咗少少，例如 $x,y,z$ 其中一個數值大咗 0.2% 咁多（例如由 0.506 變成 0.50613），跟住印出嚟嗰一拃結果就完全唔同晒樣，無論以咩基準睇都唔可以算係同一種天氣狀況。及後喺 1963 年，一本講大氣科學嘅期刊出版咗由洛倫茲寫嘅一篇論文，洛倫茲喺呢篇文入便發表咗佢所觀察到嘅嘢，引起學界嘅廣泛迴響。

圖像化

睇埋：蝴蝶效應

洛倫茲系統圖表示緊咩資訊？

首先，而家將洛倫茲系統 $x,y,z$ 三個變數嘅變化喺一笪 3D 空間裡面畫出嚟，郁嚟郁去嗰個黑點反映 $x,y,z$ 三個數值點樣隨時間變化，而啲曲線就反映咗黑點條移動軌跡。順帶一提，曲線嘅形狀被指係望落有少少似一隻蝴蝶。

調節吓啲變數嘅初始值，會令到幅圖出現點樣嘅變化？

兩條洛倫茲系統畫出嚟嘅線，

• 藍色線係設 $(x,y,z)=(0,0,1)$ 而 $(\sigma ,\rho ,\beta )=(10,28,8/3)$ 得出嘅；
• 黃色線啲參數數值一樣，但係 $(x,y,z)=(0,0,1+\varepsilon )$，當中 $\varepsilon =10^{-5}$；

—對比藍色線同黃色線，睇得出變數嘅初始值係噉咦改咗少少，出嗰條軌跡已經有明顯差異。

觀察唔同線嘅差異值...

下圖打戙嗰條軸係藍色線同黃色線喺每點時間嘅 $z$ 數值上嘅差異，而打橫嗰條軸就係時間；喺開頭嗰 23 秒內，兩條線喺 $z$ 數值上冇咩分別，但係一過咗 23 秒，兩條線就開始出現好明顯嘅差異。呢點亦帶出咗喺蝴蝶效應之下，人類對未來嘅預測喺相對短嘅時間內會係有返咁上下準嘅，但係一旦過咗呢段「相對短嘅時間」，人類嘅預測就會因為唔能夠完美量度初始狀態而完全偏離晒最後實際見到嘅結果。

睇埋

• 蝴蝶效應
• 臨界過渡
• 吸引子

參考

篇文用咗嘅行話詞彙，英文版本如下：

篇文引用咗以下呢啲文獻同網頁：

外拎

• （英文） 洛倫茲吸引子，用 Python 呢隻程式語言嚟模擬洛倫茲吸引子。