牛頓第二定律

牛頓本《自然哲學嘅數學原理》嘅一頁；佢上面有用拉丁文寫嘅第二定律原版（1687 年出版）。

牛頓第二定律（粵拼：ngau4 deon1 dai6 ji6 ding6 leot6；英文：Newton's second law）係英國物理學家牛頓喺 1687 年提出嗰柞運動定律入面嘅第二條。佢表明咗一樣嘢：一件物體郁嗰陣嘅加速度（Acceleration；指速度隨住時間改變嘅率）嘅大細同嗰件物體受到嘅淨合力係成正比嘅，而件物體嘅加速度嘅方向同嗰股淨合力量嘅方向相同。

第二定律預測咗物體嘅郁動方向同埋速度嘅變率，所以喺好多實際用途嗰度都好有價值。

方程式

淨外力係指所有施喺一件物體上面嘅力嘅總和。為咗簡單起見，呢幅圖淨係考慮打橫方向（一維）嘅力。

第二定律表明咗物體嘅加速度同淨外力（Net force）成正比，同件物體嘅質量成反比，方向同淨外力嘅一樣。呢條定律又俾人嗌做「加速度定律」。用數學方程式表達嘅話：

$\mathbf {F_{net}} \propto m\mathbf {a}$；

當中，$\mathbf {F}$ 係指淨外力（國際單位制單位係牛頓），即係所有力加埋之後得出嘅總和（相反方向嘅力正負號唔同，所以會互相抵消），$m$ 係指質量（單位係公斤），$\mathbf {a}$ 係加速度（單位係米每二次方秒）。如果舊物體嘅質量、初頭嘅速度、同初頭嘅位置係已知嘅話，噉由淨外力嗰度可以用第二定律計到舊物體嘅郁動軌跡。

而喺數學上，牛頓第二定律通常寫做：

$\mathbf {F_{net}} =m\mathbf {a}$；又或者

$\mathbf {F_{net}} ={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\vec {a}}$，$p$ 係指動量（Momentum；舊物體嘅質量同佢嘅速度相乘），而 ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$ 係動量隨住時間改變嘅率。

嚴格嚟講，呢個樣嘅第二定律淨係喺質點（Point mass；指將一件物體嘅形狀、大細、質地、同軟硬等嘅性質忽略，當佢只不過係一舊有質量、冇大細嘅幾何點）嗰度先至啱用，而喺研究多粒子嘅嘢嘅郁動嗰陣條式就要噉樣：

$\mathbf {F_{net}} =M\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }$；

其中 $\mathbf {F_{net}}$ 係施喺舊物體度嘅淨外力，$M$ 係舊物體嘅總質量，$\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }$ 係舊物體嘅質心（Center of mass）嘅加速度。

第二定律嘅三維化

一個三維直角座標系統

淨外力同加速度都係向量（Vector；指一啲有數值又有方向嘅數量），如果擺喺一個直角座標系統入面嚟去睇嘅話，淨外力同加速度可以沿三條軸同埋六個方向（$(x,y,z)$）：

$F_{x}=ma_{x}$（沿住 X 軸嘅淨外力同加速度）、

$F_{y}=ma_{y}$（沿住 Y 軸嘅淨外力同加速度）、

$F_{z}=ma_{z}$（沿住 Z 軸嘅淨外力同加速度）；

一條軸嗰度嘅淨外力只係可以影響舊物體沿住嗰條軸度嘅郁動－沿住 X 軸施加嘅力淨係有得令到舊物體沿住 X 軸加速。但係如果有幾股外力沿住多過一條軸一齊施落舊物體度嘅話就有得令到舊物體打斜噉郁－例如如果有兩股力，一股向住 X 軸正方向而另一股向住 Y 軸正方向，就會令到舊物體向住正 X 軸同正 Y 軸之間嘅空間加速。

喺可變質量系統嘅應用

火箭發射嗰陣會噴好多氣體燃料出嚟。

喺一般嘅第二定律應用入面，都假設咗舊物體嘅質量喺成個運動過程入面係唔變嘅，但係現實世界嘅應用好多時唔係噉簡單：例如係火箭發射陞空嗰陣佢會噴好多氣體燃料出嚟，亦即係話支火箭發射前同發射後嘅質量會唔同咗（少噉咗啲氣體燃料），而且成個過程入面支火箭嘅質量係慢慢噉減少嘅，所以唔可以直接用第二定律，而要改做：

$\mathbf {F} _{g}+\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}$；

$\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}$ 係氣體燃料由支火箭嗰度噴出嚟造成嘅推力（Thrust），佢同外力加埋就等於支火箭前前後後總共受咗幾多力；

其中 $\mathbf {F} _{g}$ 係施加喺支火箭上面嘅外力，例如係地球施喺支火箭度嘅重力，$\mathbf {u}$ 係由火箭觀測嘅噴出氣體嘅相對速度，$m$ 係支火箭嘅質量，而 $\mathbf {v}$ 係支火箭嘅速度（相對於佢個發射台）。

牛頓嘅論述

牛頓因為嗰陣啲人對物理認識唔深，所以原版冇現代版噉簡潔清楚。原版第二定律嘅英文翻譯係（牛頓同嗰陣時嘅多數西歐學者一樣，興用拉丁文寫學術嘢）：

"The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed."

喺呢句嘢入面，「motion」係「quantity of motion」嘅簡稱，喺呢度指緊嘅係舊物體嘅動量，而「impressed force」指嘅係衝量（Impulse；喺某段時間之內平均施嘅力同嗰段時間嘅長度相乘）成句嘢嘅粵文翻譯係：

「動量嘅變化同衝量方向一樣，而且成正比。」

牛頓試住解釋衝量同動量之間嘅關係：假設施加喺舊物體嘅衝量令到佢嘅動量變，雙倍嘅衝量會造成雙倍嘅動量改變，而三倍嘅衝量會造成三倍嘅動量改變，無論衝量係全部同時加落嚟定係逐啲逐啲噉加－造成嘅動量改變都係一樣嘅。牛頓又試住解釋呢個動量改變同初頭個動量之間嘅關係。呢個動量改變實係同施加嘅衝量方向一樣嘅。如果喺衝量加落嚟之前舊物體經已有某啲動量，噉呢個動量改變會同初頭個動量相加或者減（睇佢哋同方向定反方向）。如果動量改變同初頭個動量呈某個角度，噉最終後個動量就會係兩者按角度合成嘅結果。

理論方面嘅用途

質量嘅操作定義

巴黎科學與工業城（Cité des Sciences et de l'Industrie）博物館展示嘅 1 公斤標準質量

第二定律成日俾人攞嚟定義質量（Mass；物體內部含有嘅物質嘅量）：喺做啲乜嘢科研之前，科學家都要對佢哋用嘅變數有一啲操作定義（Operational definition），即係要用一啲可以實行嘅方法去量度呢啲變數。喺物理學入面成日會用到呢個變數，但係具體嚟講要點樣量度呢個變數係一個問題。牛頓曾經主張話質量可以用第二定律嚟量度：如果加一股已知數值嘅力落去一舊物體嗰度，再量度佢嘅加速度（加速度有得用間尺同秒計等嘅簡單方法量度），就可以用第二定律跟手計埋舊物體嘅質量出嚟，但係呢種做法就俾德國物理學家 Ernst Mach 批評，話佢噉樣係循環推理（Circular reasoning）。

打後亦都有人提議話可以設定某一個特定嘅物件（例如係某個大細嘅金）做一個標準質量，並且將同一股已知大細嘅力加喺標準質量同埋想知佢質量嘅物體上面，再用佢哋兩者嘅加速度之間嘅比例同埋第二定律計後者嘅質量出嚟，即係話：

$\mathbf {F} _{1}=(1)\mathbf {a} _{1}$，舊標準質量當咗係等如 1 個單位嘅質量，而 ${a}_{1}$ 係佢受到 ${F}_{1}$ 呢股力嗰陣嘅加速度。

$\mathbf {F} _{1}=m\mathbf {a} _{2}$；$m$ 係想知佢質量嗰舊物體嘅質量，而 ${a}_{2}$ 係佢受到 ${F}_{1}$ 呢股力嗰陣嘅加速度。因為 ${F}_{1}$ 喺兩舊物體上係相等，而兩個加速度可以用簡單方法揾到，所以有得靠兩舊物體各自嘅加速度之間嘅比例計出想知佢質量嗰舊物體：

$m\mathbf {a} _{2}=(1)\mathbf {a} _{1}$；

$m={\frac {{a}_{1}}{{a}_{2}}}$。

但係揾出一個公認嘅標準質量係一個問題。到咗廿一世紀，好多物理學家重係喺度詏緊「質量嘅操作定義係點」呢一個問題。

睇埋

• 物理學
  • 牛頓運動定律
    • 牛頓第一定律
    • 牛頓第二定律
    • 牛頓第三定律