理想

理想（英文：ideal）係環論入面嘅一個概念。一個環裏邊佢係特指個環阿標羣嘅子羣，即裏便包有一啲元素同埋繼承有個環加法嘅，而且啲元素所有倍數都仲要喺個羣裏便，啲倍數係攞原有環啲元素乘埋上啲揀出嘅元素得到。呢個乘可以由右手便乘埋（右乘），亦都可以由左手便乘埋（左乘）；兩便都得嘅話就得睇成係雙邊嘅。個名「理想」，出自英文個名，佢又出自「理想數」個概念。

理想可以用嚟構造商環，就好似羣論入面用正規子羣去構造商羣咁。喺整數環 $\mathbb {Z}$ 入面，理想同非負整數一一對應，每個理想都係由一個非負整數生成嘅主理想^{[註 1]}。但喺其他環入面，理想未必直接對應到環嘅元素，好多性質（例如質數嘅推廣）用理想嚟表達會更自然。

定義

設 $(R,+,\cdot )$ 係一個環， $(R,+)$ 係佢嘅加法阿貝爾羣。

左理想係 $R$ $R$ 嘅一個子集 $I$ $I$ ，滿足：
- $(I,+)$ 係 $(R,+)$ 嘅子羣；
- 對任何 $r\in R$ 同 $x\in I$ ，都有 $rx\in I$ 。

右理想嘅定義類似，只係將第二個條件改做 $xr\in I$ 。

同時係左理想又係右理想嘅，就叫雙邊理想（或者簡稱理想）。

如果環係交換環，左理想、右理想同雙邊理想就係同一樣嘢，直接叫「理想」都得。

理想亦都可以睇成 $R$ 作為自己上面嘅模時嘅子模。

性質

性質一

${\textbf {I}}$ 係一個子環。

性質二

對應任何一個環同位轉換 ${\displaystyle \phi$ ， $\phi$ 嘅核心（ $\ker \phi$ ）係一個理想。

性質三

設 ${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$ 係一個加法子群。咁群乘法 $(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(ab)+{\textbf {I}}$ 係完美定義 $\iff$ ${\textbf {I}}$ 係一個理想。

性質四

設 ${\textbf {I}}\subset {\textbf {R}}$ 係一個理想。咁 ${\textbf {I}}$ 嘅左群倍數會變成一個環，叫做 ${\textbf {R}}$ 除 ${\textbf {I}}$ 嘅同餘環，會寫做 ${\textbf {R}}/{\textbf {I}}$ ，佢嘅運算係 $(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(a+b)+{\textbf {I}}$ 同埋 $(a+{\textbf {I}})(b+{\textbf {I}})=(ab)+{\textbf {I}}$ 。