導數

導數（英文：Derivative）係微積分裡面好重要嘅基礎概念，可以理解成一個函數喺某一個位嘅瞬間變化。

佢嘅定義係：

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$

參考極限。

例如 $f(x)=x^{2}$，求佢嘅導函數$f'(x)$。

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{(x+h)^{2}-x^{2} \over h}$，展開變咗 $\lim _{h\to 0}{(x^{2}+2hx+h^{2})-x^{2} \over h}$，消除咗個 $x^{2}$ 淨低 $\lim _{h\to 0}{2hx+h^{2} \over h}$，約埋個 $h$ 變成 $\lim _{h\to 0}\{2x+h\}$，由於 $h$ 趨向 $0$ 所以求到 $f'(x)=2x$。

導數可以搵出條線嘅瞬間變率（instantaneous rate of change）。

基本嘅求導公式

${d \over dx}\ c=0$ ，$c$ 係常數。

${d \over dx}\ ax=a$ ，$a$ 係常數。

${d \over dx}\ ax^{n}=anx^{n-1}$ ，$a,n$ 係常數。

${d \over dx}\ \sin(x)=\cos(x)$

${d \over dx}\ \cos(x)=-\sin(x)$

${d \over dx}\ \tan(x)=\sec ^{2}(x)$

${d \over dx}\ \sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

${d \over dx}\ \csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

${d \over dx}\ \cot(x)=-\csc ^{2}(x)$。睇下三角函數。

${d \over dx}\ e^{x}=e^{x}$。睇下自然指數。

${d \over dx}\ a^{x}=a^{x}\ln(a)$

${d \over dx}\ \ln(x)={1 \over x}$

${d \over dx}\ \log _{a}(x)={1 \over x\ln(a)}$

${d \over dx}\ \sin ^{-1}(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\ \cos ^{-1}(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\ \tan ^{-1}(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

${d \over dx}\ \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}$

運算法則

• 加法：$[\ f(x)+g(x)\ ]'=f'(x)+g'(x)$

• 乘法：$[\ f(x)\ g(x)\ ]'=f'(x)\ g(x)+f(x)\ g'(x)$

證明：設 $y=fg$

$\ln(y)=\ln(fg)$

$\ln(y)=\ln(f)+\ln(g)$ (對數律)

$[\ln(y)]'=[\ln(f)+\ln(g)]'$

${y' \over y}={f' \over f}+{g' \over g}$

${y' \over y}={{f'g+fg'} \over fg}$

${(fg)' \over fg}={{f'g+fg'} \over fg}$

$(fg)'=f'g+fg'$

• 除法：$({\frac {f(x)}{g(x)}})'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

• 連鎖律：${dy \over dx}={dy \over du}{du \over dx}$

常見問題

冪函數嘅導數同ln(x)嘅關係: 對冪函數求導，指數部分會降低1次，如

${\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$

${\frac {d}{dx}}x^{2}=2x$

${\frac {d}{dx}}x=1$ (呢度可以當係) $x^{0}$

但對常數繼續求導唔會變成 -1 次方，因為0乘任何數都係0，即

${\frac {d}{dx}}x^{0}=0x^{-1}=0$

反過嚟，從積分方向考慮

$\int x^{-3}dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+C_{3}$

$\int x^{-2}dx={\frac {x^{-1}}{-1}}+C_{2}$

$\int x^{-1}dx={\frac {x^{0}}{0}}+C_{1}$，出現0分母，所以唔會變成0之方，正確係

$\int x^{-1}dx=ln(x)+C_{0}$

即冪函數似乎同自然對數函數ln(x)有密切關係。 其實原因好簡單，ln(x)嘅極限式就有一部分係由冪函數組成:

$ln(x)=\lim _{n->0}{\frac {x^{n}-1}{n}}$ 可以當成 ${\frac {x^{0}-1}{0}}={\frac {x^{0}}{0}}-{\frac {1}{0}}$ 同上面嘅積分式一樣。

可以用極限式求導：

${\frac {d}{dx}}ln(x)$

$={\frac {d}{dx}}\lim _{n\to 0}{\frac {x^{n}-1}{n}}$

$=\lim _{n\to 0}{\frac {d}{dx}}{\frac {x^{n}-1}{n}}$

$=\lim _{n\to 0}{\frac {nx^{n-1}}{n}}$

$=\lim _{n\to 0}x^{n-1}$

$=x^{-1}$

結果一致。