莫蘭指數

好似西洋棋棋盤噉黑白相關嘅空間，莫蘭指數去到 -1。講緊用 rook 型定義嚟界定咩謂之相鄰，即係對角線嘅（東北、東南、西南、西北）唔算相鄰。

莫蘭指數係空間分析上用嚟量度空間自相關嘅指標，可以話到俾分析者知手上嗰個變量，係咪傾向喺空間上聚集定係呈現隨機嘅分佈。全局莫蘭指數嘅數值會喺 -1 同 1 之間，數值愈接近 1 就愈表示相鄰嘅單位傾向相似，數值愈接近 -1 就愈表示相鄰嘅單位傾向相反，而數值接近 0 就表示呢啲空間單位冇咩空間自相關可言，個變量傾向隨機分佈。

莫蘭指數喺好多學科嘅研究上都有實用價值，最常見嘅係地理學相關分析用嚟判斷某啲現象，係咪傾向喺空間上聚埋一齊、傾向分散定係冇咩特別規律可言。此外，語言學上要研究方言特徵嘅地理分佈嗰陣，都有機會使用莫蘭指數。

莫蘭指數呢個名，譯自英文：Moran's I 。

全局計法

呢四幅係唔同嘅全局莫蘭指數值嘅圖樣：設依家每個細格謂之一個個案，個細格嘅顏色深淺度反映其數值，並且採用 rook 型定義嚟界定咩謂之相鄰。

睇埋：空間權重矩陣同熱點統計量

首先，設空間入便有 n 咁多個單位（可以想像成係有 n 咁多個格仔），而 x 係研究緊嗰個變數。設 x_i 為第 i（$i=1,...,n$）個空間單位嘅 x 值。以下係全局莫蘭指數嘅計法：

$I={\frac {n}{W}}\cdot {\frac {\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

條式用咗加總嘅符號（Σ）。當中 I 為全局莫蘭指數嘅值，W 表示啲權重加埋晒一齊嘅總和。

W 呢個值會出自一個空間權重矩陣，反映研究者用緊邊種定義嚟界定相鄰：W 會係一個 n × n 嘅矩陣，而每個元素 w_ij 表示第 i 同第 j 個地區之間嘅空間關係強度。以下係一個簡化嘅例子，表示有 4 個地區（n = 4）之間嘅鄰接關係（相鄰為 1 唔相鄰為 0）：

$W={\begin{bmatrix}0&1&1&0\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\0&1&1&0\\\end{bmatrix}}$

呢個矩陣話俾部電腦知：區域 1（第 1 行橫行）同區域 2、3 相鄰；區域 2（第 2 行橫行）同區域 1、3、4 相鄰... 如此類推。喺實用上，空間權重矩陣通常會按橫行做標準化－ i 啲鄰居嘅權重加埋會等如 1 。

計莫蘭指數嗰陣，分析師可以用幾種唔同定義嚟界定點樣謂之相鄰，好似係下圖噉。Rook：國際象棋中嘅城堡；Bishop：國際象棋中嘅主教；Queen：國際象棋中嘅王后。更進階嘅計法，仲可以考慮埋距離因素，譬如係所有彼此間距離短過 δ 嘅配對都算係相鄰。

用日常用語講，莫蘭指數計嘅係：考慮呢啲空間單位（格仔）之間嘅配對，將所有可能配對逐對逐對攞嚟睇，假如越多配對係兩格數值相反（一格高一格低）嘅，莫蘭指數就越會趨向 -1；而越多配對係兩格數值相同（相鄰嗰兩格傾向一齊高或者一齊低）嘅，莫蘭指數就越趨向 +1；假若數據中冇咩空間自相關，啲配對得出嘅值就會拉勻，最後出接近 0 嘅值。因此，莫蘭指數可以用嚟反映相鄰嘅單位幾傾向會相似。

局部計法

睇埋：熱圖

計莫蘭指數，亦有所謂嘅局部莫蘭指數：全局莫蘭指數，只會產生一個統計量，用一個值概括晒成個研究範圍。換句話講，全局分析係假設咗成個範圍係均勻一致嘅。若果呢個假設唔成立，只靠一個統計量嚟講晒成幅地圖就未必咁有意義，甚至可能會有遮蔽咗重要資訊之虞。就算全局層面上冇空間自相關或者冇聚集現象，分析師依然可以透過區局性質嘅空間自相關分析，喺微層面搵到聚集規律。

局部莫蘭指數會同每一個空間單位計返個 I_i 值，最基本個版本係用以下呢條式：

$I_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{m_{2}}}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{j}-{\bar {x}})$

當中

$m_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N}}$

即係話

$I=\sum _{i=1}^{N}{\frac {I_{i}}{N}}$

同每個空間單位計咗佢嘅局部莫蘭指數之後，分析師可以畫一幅地圖，顯示唔同地區嘅局部莫蘭指數分佈情況。譬如係下圖噉，下圖顯示美國唔同地區嘅貧窮情形，精細度去到縣嘅等級，目標變數簡單講係貧窮程度：淺紅係高高－高值區，周圍傾向係高值；深紅係高低－高值區，周圍傾向係低值；深藍係低高－低值區，周圍傾向係高值；而淺藍係低低－低值區，周圍傾向係低值；灰白色就係統計上唔顯著嘅區域。

應用研究

《中國語言地圖集》一書標示，粵語區唔同地區嘅粵語方言分片。

内文：空間分析

但凡係會用到空間分析嘅研究，都有可能會使用莫蘭指數。

例如方言學研究就有用莫蘭指數。攞某一種語言特徵嚟睇，譬如係某音素嘅存在或者某隻詞語嘅出現頻率，然後呢個特徵設做 x，佢可能會零舍聚集喺某啲地區，而呢種情況反映嗰隻話嘅內部差異。用粵語做例子，廿一世紀初嘅粵語有 n/l 分化嘅爭論：有唔少粵語使用者都當 [n] 同 [l] 係同一種音素；研究者可以設係咪會分 n/l 為二元編碼嘅 x，再去香港、澳門、廣州、梧州、南寧等兩廣多地收集數據，睇吓各地嘅粵語使用者係咪會分 n/l ，甚至可以搵埋國外多粵藉華人聚居嘅地方；局部莫蘭指數計咗出嚟，就可以得知 n/l 不分嘅情形係咪零舍集中喺某啲地區，於是研究者搵到描述粵語嘅資訊，就可以攞去期刊度發佈，增進學界對粵語嘅認識。

腦神經學方面嘅研究亦有機會使用莫蘭指數。腦神經學研究成日要分析腦活動，而腦活動本質上實有空間自相關：神經元係向周圍嘅神經元射訊號嘅，所以個腦某一忽嘅活動，實有機會受佢周邊腦區域嘅活動影響。

假說檢定

睇埋：假說檢定

喺專業嘅統計分析上，計莫蘭指數亦好可能要考慮埋統計顯著性：做假說檢定嗰陣會測試計出嚟嘅莫蘭指數（下稱實際 I ）係咪達到統計上顯著；有別於一般假說檢定嘅係，呢啲計算靠嘅並非理論中嘅概率分佈而係用置換檢驗噉嘅做法；噉講即係話部電腦會將研究對象嘅數值隨機打亂，再計過莫蘭指數，重複好多次（例如可能萬零次）之後，就會得出一個「隨機分佈」，跟住部機就可以睇吓喺呢個隨機分佈下，個實際 I 或者更極端嘅數值有幾大機率出現；假如呢個機率有返咁上下低，研究者就有理由拒絕虛無假說－即係佢哋有理由話個實際 I 嘅出現，唔係因為純粹巧合。

R 程式語言等嘅工具，仲有埋功能可以自動做呢樣嘢。

睇埋

• Getis–Ord 統計量：同莫蘭指數有啲似，不過 G-O 統計量重點在於搵出邊啲地方多熱點或者多冷點聚集，而莫蘭指數就較在意邊啲點傾向同周圍嘅點唔同。
• 地理學第一定律
• 距離衰減
• 統計相關
• 柏林雜音