謝爾曼質數

一個數 $p$ 本身已經係質數，若果 $2p+1$ 亦都係質數嘅話，咁我哋就會定義 $p$ 係謝爾曼質數。

索菲·謝爾曼證明咗費馬最後定理對於呢類質數嚟講係真實同可靠嘅。而且如果 $x,y,z$ 都係整數嘅話，咁喺 $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ 呢條式入面，一定有一項可以俾 $p$ 整除到。

究竟係咪存在無限個謝爾曼質數呢個問題仍然係屬於猜想。

由1 至到10000 總共有190 個謝爾曼質數（OEIS:A005384）：

2	3	5	11	23	29	41	53	83	89	113	131
173	179	191	233	239	251	281	293	359	419	431	443
491	509	593	641	653	659	683	719	743	761	809	911
953	1013	1019	1031	1049	1103	1223	1229	1289	1409	1439	1451
1481	1499	1511	1559	1583	1601	1733	1811	1889	1901	1931	1973
2003	2039	2063	2069	2129	2141	2273	2339	2351	2393	2399	2459
2543	2549	2693	2699	2741	2753	2819	2903	2939	2963	2969	3023
3299	3329	3359	3389	3413	3449	3491	3539	3593	3623	3761	3779
3803	3821	3851	3863	3911	4019	4073	4211	4271	4349	4373	4391
4409	4481	4733	4793	4871	4919	4943	5003	5039	5051	5081	5171
5231	5279	5303	5333	5399	5441	5501	5639	5711	5741	5849	5903
6053	6101	6113	6131	6173	6263	6269	6323	6329	6449	6491	6521
6551	6563	6581	6761	6899	6983	7043	7079	7103	7121	7151	7193
7211	7349	7433	7541	7643	7649	7691	7823	7841	7883	7901	8069
8093	8111	8243	8273	8513	8663	8693	8741	8951	8969	9029	9059
9221	9293	9371	9419	9473	9479	9539	9629	9689	9791

去到2005年1月為止，最大嘅幾個謝爾曼數係：

數值	年份	發現者
$92305\times 2^{16998}+1$	1998年	Hoffmann
$109433307\times 2^{66452}-1$	2001年	Underbakke
$2540041185\times 2^{114729}-1$	2003年	Underbakke
$7068555\times 2^{121301}-1$	2005年1月8號	P. Minovic

特性

謝爾曼質數永遠唔會以7 為個位數。下面就係證明：

反證法：假設存在個位數係 7 嘅質數 p，將佢表達成 p=10k+7。根據謝爾曼質數嘅性質，$2p+1$ 亦都會係質數，但係 $2p+1=2(10k+7)+1=20k+15=5(4k+3)$，$2p+1$ 可以俾5 整除，係一個合成數，所以有所矛盾。

同梅森數嘅關係

若果$p>3$，$p\equiv 3{\pmod {4}}$，而且p 又係謝爾曼質數，咁 2p+1 就係梅森數$M_{p}$ 嘅因數。

出現頻率

1922年，哈代同Littlewood 發表咗以下呢一條用嚟計算謝爾曼質數頻率嘅公式：

${2Cx \over ln^{2}(x)}$

而且 $C\approx 0,6601618158$，咁C 就係孿生質數常數。

坎寧安鏈

數列 {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} 嘅索非熱爾曼質數稱為第一類坎寧安鏈。除咗頭同尾之外，呢個數列入面嘅項都會同時係謝爾曼質數同安全質數。

睇埋

• 安全質數