超幾何分佈

超幾何

概率質量函數
累積分佈函數
變數	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
撐集	$\scriptstyle {k\,\in \,\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\}}\,$
PMF	${\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}$
CDF	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],$ where $\,_{p}F_{q}$ is the generalized hypergeometric function
平均數	$n{K \over N}$
眾數	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
方差	$n{K \over N}{N-K \over N}{N-n \over N-1}$
偏度	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
峰度	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\big [}(N-1)N^{2}{\big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\big )}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\big ]}$
MGF	${\frac {{\binom {N-K}{n}}\,_{2}F_{1}(-n,-K\,;\,N-K-n+1\,;\,e^{t})}{\binom {N}{n}}}$
CF	${\frac {{\binom {N-K}{n}}\,_{2}F_{1}(-n,-K\,;\,N-K-n+1\,;\,e^{it})}{\binom {N}{n}}}$

喺概率論同統計學，超幾何分佈係離散概率分佈一種，用嚟描述以下嘅現象：想像而家由某個總體嗰度做抽樣，總體入便有 N 件物件而 N 係有限數值，抽咗出嚟唔放返入總體；同時計數嘅人指定某某特性，而總體入便有 K 件物件有呢種特性；超幾何分佈模擬嘅就係

「由總體抽出咗 n 件物件之後，抽中 k 件有指定嗰種特性嘅物件」

嘅機率。

舉具體例子嘅話，可以想像抽啤牌。假想依家有一副標準 52 張嘅啤牌，假設副牌洗好咗，咭牌次序係隨機嘅，而計數嘅人想知由呢副牌入便抽 5 張出嚟，即係 n = 5，有幾大機會其中兩張係紅心，即係指定嘅特性係紅心而 k = 2 咁多。假設抽咗出嚟嘅牌唔會放返入去，呢個情況就可以用超幾何分佈嚟計算。事實上，超幾何分佈成日會用嚟分析咭牌遊戲嘅數學特性。

超幾何分佈同二項分佈有啲似，但二項分佈假設係抽咗樣之後係會放返入去嘅，一次抽樣抽到乜嘅機率，唔會受「上次抽到乜」影響；相比之下，超幾何分佈模擬嘅係抽咗出嚟唔會放返入去，所以今次抽到紅心，下次再抽到紅心嘅機率就會變咗。

定義

睇埋：概率分佈

超幾何分佈可以用以下嘅條件描述：

• 每次抽樣結果，都可以分成兩個互斥嘅類別（例如：合格或唔合格，或者就業或失業）。
• 每次抽樣後，因為唔放返入（有限）總體，所以成功（抽到想要嗰個類別）嘅機率會改變。
• 如果某某隨機變數 X 遵循超幾何分佈，佢嘅概率質量函數（PMF）可以寫做以下噉：

$p_{X}(k)=\Pr(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}$

當中：

• $N$ 係總體入面物件嘅總數，
• $K$ 係總體入面擁有指定特性嘅物件數量，
• $n$ 係抽樣次數（即係每次試驗抽幾多件），
• $k$ 係實際抽到擁有指定特性嘅物件數量，
• ${\binom {a}{b}}$ 係二項式係數。

呢個概率質量函數喺以下範圍內會出正嘅數值：

$\max(0,n+K-N)\leq k\leq \min(K,n)$

一個隨機變量如果遵循參數為 $N$、$K$ 同 $n$ 嘅超幾何分佈，可以寫做：

$X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)$

應用

睇埋：紙牌遊戲

超幾何分佈可以用嚟分析多種紙牌遊戲嘅數學特性。

想像而家玩集換式咭牌遊戲，玩家喺度設計自己副咭組（deck），佢好可能會想知道「喺第 n 個回合，有幾大機會抽到一張有 XX 特性嘅咭，呢個時候就可能會用到超幾何分佈嚟計數。舉例，假設玩家用緊一副有 60 張咭嘅咭組，入面有 8 張係目標咭牌，而每個回合玩家都會抽一張咭。噉玩家就可以問，喺開局嗰陣嘅 7 張手牌加埋喺第 n 回合前抽到嘅咭（總共 7+n-1 咁多張）抽中最少一張目標咭牌嘅機率係幾多？而因為啲咭抽咗之後正常唔會放返入去，所以呢種情況啱啱好符合超幾何分佈嘅條件。舉個數值例子：如果想計喺第 3 回合開始之前，到時已經抽咗 7+2=9 張咭，抽到最少一張目標咭牌嘅機率，可以用超幾何分佈去搵答案；首先，計「完全抽唔到目標咭牌」嘅機率：

總體有 N=60 張咭。

成功狀態（抽中目標咭牌）數量係 K=8。

抽咗 n=9 張咭

想計 k=0（一張目標咭牌都抽唔中）嘅機率。

呢種計算對設計咭組策略嚟講好重要，可以幫玩家預測咭組運行起上嚟有幾穩定。

睇睇

• 抽樣
• 多項分佈
• 幾何分佈
• 二項分佈