重力內波

重力內波，係指喺一個流體裏面，而唔係表面震動嘅一種重力波。呢種波會喺一個穩定同埋層次分明嘅大氣裏面出現。

數學表示式

均勻分層流體裏面嘅重力波

喺均勻分層同埋唔可以壓縮，流體嘅運動大致上可以用博欣内斯克近似嘅線性化方程。我哋假設流體嘅運動只係局限喺 $x$-$z$ 平面上面。將呢啲嘢應用喺大氣入面，就會有四條方程嚟描述空氣嘅運動：

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+g=0$

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0$

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}+u{\frac {\partial \theta }{\partial x}}+w{\frac {\partial \theta }{\partial z}}=0$

其中 $u$ 係 $x$ 方向嘅速度，$w$ 係 $z$ 方向嘅速度，$\rho$ 係密度，$p$ 係氣壓，$g$ 係重力加速度，$\theta$ 係位溫。根據位溫嘅定義我哋有一條額外嘅公式：

$\theta ={\frac {p}{\rho R}}\left({\frac {p_{s}}{p}}\right)^{\frac {R}{c_{p}}}$

其中 $p_{s}$ 係海平面氣壓，$R$ 係乾空氣嘅氣體常數，$c_{p}$ 係等壓過程裏面乾空氣嘅比熱容量。呢條式仲可以寫成：

$\ln \theta ={\frac {1}{\gamma }}\ln p-\ln \rho +\mathrm {constant}$

其中 $\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{p}-R}}$。

喺背景密度好少變化嘅流體，我哋可以用一階攝動理論，將 $u$、$w$、$\rho$、$p$ 同埋 $\theta$ 呢五個變量分開做均值同埋一階項：

$u={\overline {u}}+u'$

$w={\overline {w}}+w'$

$\rho =\rho _{0}+\rho '$

$p={\overline {p}}+p'$

$\theta ={\overline {\theta }}+\theta '$

因為大氣垂直方向嘅尺度相對於水平方向嚟講好細，大氣裏面嘅垂直運動相對比較弱，所以可以直接當 ${\overline {w}}=0$。跟著留意 ${\overline {u}}$ 同埋 $\rho _{0}$ 都係常數，而 ${\overline {p}}$ 同埋 ${\overline {\theta }}$ 都係對應 $z$ 嘅函數。

經過一輪簡化，用到流體靜力平衡 ${\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial z}}=-\rho _{0}g$，同埋用尺度分析考慮到 ${\frac {1}{\gamma }}{\frac {p'}{\overline {p}}}\ll {\frac {\rho '}{\rho _{0}}}$，啲方程可以重新寫成：

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\overline {u}}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)u'+{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p'}{\partial x}}=0$

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\overline {u}}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)w'+{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p'}{\partial z}}-{\frac {\theta '}{\overline {\theta }}}g=0$

${\frac {\partial u'}{\partial x}}+{\frac {\partial w'}{\partial z}}=0$

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\overline {u}}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\theta '+w'{\frac {d{\overline {\theta }}}{dz}}=0$

留意呢度得返四個變量，啲 $\rho '$ 已經全部轉咗做 $-{\frac {\theta '}{\overline {\theta }}}\rho _{0}$。

其中兩條式可以合埋一齊嚟約走個 $p'$：

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\overline {u}}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left({\frac {\partial w'}{\partial x}}-{\frac {\partial u'}{\partial z}}\right)-{\frac {g}{\overline {\theta }}}{\frac {\partial \theta '}{\partial x}}=0$

將佢塞返落上面嘅其他式，剩係留返 $w'$，就可以得到一條關於 $w'$ 嘅偏微分方程：

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\overline {u}}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w'}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w'}{\partial z^{2}}}\right)+N^{2}{\frac {\partial ^{2}w'}{\partial x^{2}}}=0$

其中 $N={\sqrt {{\frac {g}{\overline {\theta }}}{\frac {\partial {\overline {\theta }}}{\partial z}}}}$ 係布倫特-維塞拉頻率。

雖然我哋有機會用變量分離法嚟解咗佢，但係我哋可以有辦法直接搵到呢個波嘅色散關係。將 $w'={\hat {w}}e^{i(kx+mz-\omega t)}$架硬代入條方程就會得到：

$\omega ^{2}={\overline {u}}k+{\frac {N^{2}k^{2}}{k^{2}+m^{2}}}={\overline {u}}k+N\cos \Theta$

其中 $\omega$ 係角頻率，$k$ 係水平方向嘅波數，$m$ 係垂直方向嘅波數，$\Theta =\tan ^{-1}{\frac {m}{k}}$ 係波數向量同水平面之間嘅夾角，亦都係相位線同垂直方向嘅夾角。