馮紐曼-摩根斯坦效用定理

馮紐曼-摩根斯坦效益定理（英文：Von Neumann–Morgenstern utility theorem ），簡稱 VNM 效益定理，下稱馮摩定理，係決策論入便嘅核心定理。根據呢條定理，決策者要喺充滿不確定性嘅情況下做理性決策嗰陣，其思考過程可以當成係要令到某個函數出嘅數值有咁大得咁大，當中個函數係一個基數效益函數，而出嘅數值係該函數嘅預期值。

呢套諗頭出於一九四七年，由馮紐曼同摩根斯坦合作提出，佢哋成功證明到，若果決策者嘅偏好滿足四條公理，佢就會有一個效益函數，當中決策者嘅偏好可以以等距嘅方式表達出嚟，而佢會偏好嘅行動，係能夠令預期效益盡可能咁大嘅^[1]。學者指佢哋呢個諗法，以當時嘅經濟學嚟講算係相當嶄新：個諗法令到經濟學研究者分析人類點樣做決策嘅時侯，唔再淨係考慮金錢上嘅得失，而係會考慮效益嘅概念^[2]。

基本設定

要理解馮摩定理，會用到效益，又叫效用Utility，呢個概念，亦會提到機率同埋期望值嘅諗頭，當中基數效益相當重要：簡單講，基數效益嘅諗法係話，效益唔淨只可以係反映次序，反映邊個選擇較好，仲反映到可以攞嚟比較差距嘅數值^{[註 1]}。

喺馮摩定理嗰套思考入面，個體面對嘅選擇，可以當係抽緊獎^{[註 2]}。假設依家抽獎，有一組互斥嘅結果，當中互斥意思即係話佢哋當中唔可以有多過一個同時出現。而是次抽獎唔同結果，每個都會掕住個 0 至 1 之間嘅值，表示抽中佢嘅機率有幾高，而且正如概率論講到噉，所有可能性嘅機率加埋，必定會等如 1 冇多冇少。

設依家場抽獎有兩個可能結果 A 同 B，而 L 呢個符號表示是次抽獎：

L=0.25A+0.75B

噉樣代表本次抽獎，有 25% 嘅機會得到 A，75% 嘅機會得到 B。廣義化嘅話，對於某次抽獎有若干個結果，每個結果叫 A_i，呢場抽獎就可以用加總符號，寫成

L=\sum p_{i}A_{i}

當中 p_i 為 A_i 出現嘅機率。將呢啲 p_i 值冚唪唥加埋一齊嘅話，會得到 1 。

四大公理

馮摩定理基於四條公理，只要某個個體，佢啲偏好滿足以下呢四條公理，喺馮摩定理嘅語境下^{[註 3]}佢就謂之係理性嘅。佢做決策嗰時思考嘅效益，可以視為基數效用噉睇。

呢幾條公理如果要合理化，時常會用到金錢泵論證，簡單講就係若果呢啲公理唔成立，會令決策者做出一啲顯然係唔理性嘅行為。

完備

完備（英文：completeness ）係指：是但搵兩個抽獎安排 L 同 M，以下呢句嘢都會成立：

一係 L ≽ M，一係 M ≽ L

用日常用語講，即係任何兩個抽獎，都有可能比較兩者^{[註 4]}^[3]。

遞移

遞移（英文：transitivity ）係話：若果決策者偏好 A 多過 B（A ≻ B）而且又偏好 B 多過 C（B ≻ C），噉佢一定會偏好 A 多過 C（A ≻ C）而遞移呢個諗法，用符號表達如下：

A\succ B\land B\succ C\implies A\succ C

連續

連續（英文：continuity ）最基礎個版本係噉嘅，假如依家有三個抽獎，N ≽ M ≽ L，好同壞之間有一個臨界點：無論三者係乜，都有可能搵到個機率 p，而

pL+(1-p)N\sim M

上面呢段嘢入便個 ~ 意思係話兩邊無差異，喺決策者心目中一樣咁好或者一樣咁差。連續公理意思即係話無論三個選擇係乜，無論 L 幾咁差，將佢發生嘅機率慢調低，都梗會搵到有個 p，係可以令到上面句嘢成立嘅。

獨立

獨立（英文：independence ）講到若果 N ≽ L，噉喺兩邊加入第三者 M 唔會影響偏好：

L\preceq N\iff (1-p)L+pM\preceq (1-p)N+pM

睇埋

文獻

Anand, Paul. Foundations of Rational Choice Under Risk Oxford, Oxford University Press. 1993 reprinted 1995, 2002
Fishburn, Peter C. Utility Theory for Decision Making. Huntington, NY. Robert E. Krieger Publishing Co. 1970. ISBN 978-0-471-26060-8
Sixto Rios (1998) Some problems and developments in decision science, Revista Matematica Complutense 11(1):113-41.
Peterson, Martin (2009). An Introduction to Decision Theory (Cambridge Introductions to Philosophy). Cambridge: Cambridge University Press.

註釋

↑ 至於點解，可以睇睇偏好同埋量度層次嘅概念。
↑ 原文係英文：Lotteries，嚴格嚟講呢隻詞指嘅係彩券。
↑ 理性呢個概念頗為複雜，呢度講嘅理性只係 VNM 定理中嘅理性。
↑ 呢點查實引嚟唔少批評：喺現實，好多選項都難以直接比較。比如係向燈神許願，燈神畀主人揀，要令到世上多兩個人活得過六十歲，抑或係令到世上多兩個人唔洗做文盲。好多人都覺得，呢個情況好難比較兩個選項。

引咗

↑ Neumann, John von and Morgenstern, Oskar, Theory of Games and Economic Behavior. Princeton, NJ. Princeton University Press, 1953.
↑ Prokop, Darren. "von Neumann–Morgenstern utility function". Encyclopedia Britannica, 27 Jan. 2023, https://www.britannica.com/topic/von-Neumann-Morgenstern-utility-function. Accessed 20 April 2026，佢哋噉講："The implication of the expected utility hypothesis, therefore, is that consumers and firms seek to maximize the expectation of utility rather than monetary values alone."
↑ 決策論＃乜嘢係偏好，史丹福哲學百科全書；佢哋呢度噉講："For instance, it is questionable whether an agent should be able to compare the option whereby two additional people in the world are made literate with the option whereby two additional people reach the age of sixty."

[3] 至於點解，可以睇睇偏好同埋量度層次嘅概念。

[4] 原文係英文：Lotteries，嚴格嚟講呢隻詞指嘅係彩券。

[5] 理性呢個概念頗為複雜，呢度講嘅理性只係 VNM 定理中嘅理性。

[6] 呢點查實引嚟唔少批評：喺現實，好多選項都難以直接比較。比如係向燈神許願，燈神畀主人揀，要令到世上多兩個人活得過六十歲，抑或係令到世上多兩個人唔洗做文盲。好多人都覺得，呢個情況好難比較兩個選項。

[VNM-1] Neumann, John von and Morgenstern, Oskar, Theory of Games and Economic Behavior. Princeton, NJ. Princeton University Press, 1953.

[2] Prokop, Darren. "von Neumann–Morgenstern utility function". Encyclopedia Britannica, 27 Jan. 2023, https://www.britannica.com/topic/von-Neumann-Morgenstern-utility-function. Accessed 20 April 2026，佢哋噉講："The implication of the expected utility hypothesis, therefore, is that consumers and firms seek to maximize the expectation of utility rather than monetary values alone."

[7] 決策論＃乜嘢係偏好，史丹福哲學百科全書；佢哋呢度噉講："For instance, it is questionable whether an agent should be able to compare the option whereby two additional people in the world are made literate with the option whereby two additional people reach the age of sixty."

[1]

[2]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[3]