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流體力學

一.流體力學簡介 流體力學知識可應用到氣象學（meteorology）、海洋學（oceanography）、水文學（hydrology）、醫療研究（例如血液循環及人工心臟等）、交通運輸（例如飛機與火箭之空氣動力學（aerodynamics）及船艦及潛水艇等）、土木工程（例如水災控制、民生供水、地下水、輸油管等）。 流體力學歷史 阿基米得（Archimedes）與亞歷山大大帝（Hero of Alexandria）發展出向量定律、浮體與潛體之浮力，並導出微觀微積分學。 羅馬人在西元前~400年已建造供水系統。 達文西（Da Vinci）在15世紀導出質量守衡定律，並用以解釋水波、噴流（jet）、水流猛脹（hydraulic jump）等。 馬瑞奧特（Mariotte）在16世紀建造第一個風洞。 巴斯葛（Pascal)建立流體內壓力分佈之理論。 牛頓（Newton）於17世紀導出運動方程式、線性流體之黏滯度（viscosity of linear fluid）- 此類流體稱為牛頓流體（newtonian fluid），他並導出非黏滯流體（”perfect” or frictionless fluid）之運動方程式。 白弩力（bernoulli）、歐拉（Euler）、拉格蘭及（Lagrange）、拉普拉氏（Laplace）等人解出很多的非黏滯流體流場問題。 歐拉（Euler）將流場以微分（differential）及積分（integral）型式表示，此導致白弩力方程式之產生。 之後科學家開始運用實驗方法而衍生流體力學之一支 – 水力學（hydraulics）。 皮托（Pitto）、偉伯（Weber）、哈根（Hagen）、波蘇拉（Poiseuille）、達西（Darcy）等人做了很多管路、水波、船體阻力等實驗。 19世紀時，科學家結合實驗水力學（experimental hydraulics）與理論水動力學（theoretical hydrodynamics），而建立現代流體力學之基礎。 福祿德（Froude）發展出用模型做測試。 瑞理（Rayleigh）提出因次分析（dimensional analysis）之技巧。 雷諾（Reynolds）證明一無單位參數 – 稱之為雷諾數（Reynolds number）之重要性。 那伏亞（Navier）及史多克（Stokes）將黏滯力項加入運動方程式而導出Navier-Stokes 方程式，但此方程式求解困難。 此困難被20世紀最偉大之流體力學與熱傳學家普朗多（Prantdl）解決，普朗多提出邊界層理論（boundary layer theory）- 流體流經物體，在表面會形成一層薄層稱之為邊界層，只有在此薄層內黏滯力影響重要，而在此薄層外大部分之流場黏滯力不重要，固可假設為非黏滯流體，並可使用白弩力方程式描述流場。　普朗多的學生包括馮卡門（von Karman），布勞西斯(Blasius)及尼可瑞斯（Nikurades）等人，在黏滯流、邊界層、紊流等方面均有不可磨滅之貢獻。其研究結果大大地影響第二次世界大戰美、德雙方之航空發展。 自~1990年以來，因高速計算機之長足進度，而發展出以數值分析的方法解析複雜流場之問題 – 此稱為計算流體力學（computational fluid dynamics, CFD），現今常用之CFD軟體有PHOENIX, FLUENT, CFD2000等。

流體力學可細分為下數個分類： 流體動力學(hydrodynamics) -- 主要研究不可壓縮流體。 水力學(hydraulics) –- 討論管路內及開放式渠道之流体流動問題。 氣體動力學(gas dynamics) –- 研究密度變化較大(可壓縮流體)之流體在高速下，通過例如噴嘴(nozzle)時之現象。 空氣動力學(aerodynamics) –- 主要討論空氣流過物體表面(例如飛機、火箭、汽車等)所產生之影響。 另外，由於流體特性，例如黏滯力，亦可細非為： 黏滯流(viscous flow) –- 討論當流體與物體邊界之黏滯力不可忽視時流場之特性，例如磨擦力等。 位能流(potential flow) – 討論當流體與物體邊界之黏滯力可忽視時，例如遠離物體上之邊界層時，流場之速度、壓力等分佈。

何謂流體? 液體與氣體統稱為『流體』。 固體與流體最大之不同，在於其對剪應力(shear stress)之反應不同。 流體內任一微小平面An上均可找出切線方向力Ft 及法線方向力Fn ，其單位面積所遭受的力（應力）分別為t 與n 。 shear stress normal stress 上圖中垂直於流體平面之分力為垂直剪應力(normal shear stress　或簡稱　normal stress， (唸 sigma))，平行於平面之分力為切線剪應力(tangential shear stress 或簡稱　shear stress， (唸 tau))，當流體靜止時，其切線剪應力為零，而其垂直剪應力為壓力。　　

當固體接受一『切線方向剪應力』(tangential shear stress)時，其變形角度(shear strain)正比於此剪應力；反之，當流體接受一切線方向剪應力時，其變形角度之時間變率(shear strain rate)正比於此剪應力。 換言之，當一剪應力施於固體時，固體之變形角度正比於施力，而變形不隨時間而變化。

流體之分類 (A) 黏滯區（viscous region）與非黏滯區(inviscid region): 例如流體流過一平板時，流體之黏滯力與平板間形成一黏滯區如下圖，其磨擦力很重要；反之，在此薄層外，因為流體內無相對速度，故黏滯力不重要，只要考慮壓力(pressure force)與慣性力(inertial force)。　注意：沒有任何流體是完全沒有黏滯力的。 (B) 管內流場(internal flow)與外部流場(external flow): 流體流經管路(pipe or duct)內，稱為管內流體，其速度分佈及黏滯力造成之管路壓力降(pressure drop)對流場影響很大。 流體是包覆性地流過物體表面如下圖，稱為外部流體，流體與物體表面形成之邊界層，以及物體在流體中遭受之阻止是研究之重點。

網球上流體之分佈、以及分離點(separation point)、尾波區(wake region)。

(C) 可壓縮(compressible)及不可壓縮(incompressible)流體: 流體之密度不隨壓力而改變，稱為不可壓縮流體，例如液體。 但氣體為可壓縮流體，例如空氣在百分之一的大氣壓改變下，其密度改變1%。 一般流速時，馬赫數低於 0.3時，密度變化低於 5%，流體可視為不可壓縮流體。馬赫數： Ma = V/C = 流體流速/流體中聲音傳速 馬赫數大於一(音速以上)時，則必須考慮流體之可壓縮性質。 (D) 層流(laminar flow)及紊流(turbulent flow): 以流體之雷諾數(Reynolds number, Re)界定，流速低時流場為較穩定之層流；流速高時流場會產生劇烈之速度波動(fluctuation)，如下圖所示，由層流至紊流間，會有一過度區(transitional)。

(E) 自然(natural)與強制(forced) 流體： 有外力(如幫浦、風扇等)驅動之流場稱為強制流；自然流主要由流體本身溫度差造成之密度差而形成之流動。 (F) 穩定 (steady)及不穩定 (unsteady)場 流場內之各種性質(速度、壓力等)不隨時間而改變，稱為穩定流；反之則為不穩定流。

(G) 一維(one-dimensional) 二維(two-dimensional) 及三維(three-dimensional)流場： 實際之流場一般均為三維，例如速度可表示為直角座標之 V(x,y,z) 或圓錐座標之 V(r,,z)，其分析較為複雜與困難。 若一三維之流場，在某一方向無太大速度變化，則可將此流場假設為二維，或更化簡為一維，使分析簡單而不失其精確性。 例如下圖圓形管路之流體在入口區為二維流場 V = V(r,z)，而在『完全成形區』(fully developed region) 為一維流場 V = V(r) 因為速度只與徑向位置有關。

何謂『邊界層』(boundary layer)及『無滑動邊界條件』(no-slip condition)? 任何流體流過物體表面時，因黏滯力之影響，使得流體緊鄰固體表面時之流速為零，此稱為『無滑動邊界條件』

汽車輪胎在轉動時與地面接觸之點之速度為何?  當煞車時又如何?)

因無滑動邊界條件，造成固體邊界上形成一速度降低之區間，稱為『邊界層』如下圖所示，此邊界層內黏滯力及流體與固體表面之『牆壁剪應力』(即磨擦力)影響重要；反之，邊界層外之流場速度幾乎為常數，沒有相對速度，故黏滯力可忽視。 在曲面之後半部，因黏滯力及壓力分佈之交互影響，固體表面流體流動方向甚至會回流，此處稱為『分流點』 (flow separation)如下圖所示，之後將產生『渦漩』(vortex)，以及『尾波區』(wake region)，對固體在流場中之阻力影響甚大。

流體力學分析方法 流體力學問題的分析方法，一般可分為兩類： 1. 系統（system）方法 2. 控制容積（control volume）方法 而此二方法又分別可以用有限（finite）或積分（integral）的處理法、以及無窮小（infinitesimal）或微分（differential）的處理法進行之。 系統： 代表一固定質量之空間範圍，系統邊界不可有質量之傳輸（但可有熱與功的傳輸）。

2. 歐拉瑞恩（eulerian）法 – 觀測者位於空間中一固定點，不隨流體運動。 此兩種方法各有優缺點，容後再述。

因次（dimensions）與單位（units）

主要因次 （principle dimensions） SI units 質量Mass {M}/力Force {F}

             (F = MLT-2)	公斤kilogram (kg)/牛頓(N)

長度Length {L} 公尺meter (m) 時間Time {T} 秒 (s) 溫度Temperature {} 凱文(K) 其他導出之單位： force of 1 newton (N) = 1 (kg.m/s2) (英制: 1 lbf = 32.174 lbm.ft/s2 ) energy of 1 joule (J) = 1 (N.m) power of 1 watt (W) = 1 (J/s) pressure of 1 pascal (Pa) = 1 (N/m2) viscosity = kg/m.s specific heat = J/kg.K = m2/s2.K

因次之均方性 (Dimensional Homogeneity) 注意：方程式中任一項之單位均須相同。 例：證明白弩力方程式（Bernoulli’s equation）中每一項之單位相同。 解： {N/m2} = {N/m2} + {kg/m3 . m2/s2} + {kg/m3 . m/s2 . m}

               (kg/m3 . m2/s2 = kg/m.s2 = kg . m/s2 . 1/m2 = N/m2)

二.流體特性 物質之性質(property): 原生性質(intensive property) – 物質性質與系統質量之大小無關，例如溫度、壓力、比重等。 延伸性質(extensive property) – 物質性質與系統質量不同而產生變化，例如質量、體積、動量等。 比性質(specific property) – 乃延伸性質與系統質量之比，故與系統質量無關，例如比容積(specific volume，v(m3/kg) = 1/)、單位質量總能(specific total energy, e = E/m)等。

密度(density) 與比重(specific gravity) 密度（density）： (kg/m3) = mass/unit volume ( 唸 Row) 比重（specific gravity）： s.g. = /H2O 例： s.g.Hg = 13.6， 汞(水銀)之密度為何? 解： Hg = (13.6)(1000 kg/m3) = 13.6 X 103 kg/m3 比重量（specific weight）：  = g(N/m3) = 單位體積重量 ( 唸 Gamma)

能量(energy): 總能(total energy) E 包括熱能、機械能、動能、位能、電能、磁能、化學能、核能等。 微觀能(microscopic energy): 分子結構與分子活動程度有關之能量，稱為微觀能。 內能(internal energy) U: 所有微觀能之總和稱為內能。 微觀能主要與物質之溫度有關。 巨觀能(macroscopic energy): 通常與物體運動之動能(kinetic energy) -- V2/2 有關，或是受重力、磁力、電力、表面張力而影響。受重力影響稱為位能(potential energy) -- gz。 熱能(thermal energy): 以顯能(sensible heat)及潛能(latent heat)形成存在之能量。 焓(enthalpy) h: 內能與壓力、體積乘積之和； h = u + Pv = u + P/ 上式之第二項為流動功(flow work)，其為每單位流體為保持流體流動所須之功，為不可使用之功。

故流動中流體之總能量可表示為焓、動能、與位能之總和： eflowing = P/ + e = h + ke + pe = h + V2/2 + gz 內能與焓之變化可以溫度之變化表示之： du = cv dT and dh = cp dT 其中cv 與 cp 為理想氣體之等容比熱(constant-volume specific heat) 與等壓比熱(constant-pressure specific heat)。 當物質為不可壓縮(incompressible)時，此二比熱相等，且焓之改變為： h =u+P/= caveT +P/( 故等壓過程中： h = u  cave T 等溫過程中：h =P/ρ 故壓縮係數代表體積或密度之改變分量(v/v 或 /) 其壓力之改變量，故不可壓縮流體之壓縮係數為無窮大。例如若要增加 1% 水之密度，需增加 210 倍之大氣壓 (210 atm)。 此現象有時會造成很大影響，例如水流在管路內，若遭到壓縮而產生密度變大時(例如流經管路急遽變小區，或急遽將管路閥門 (valve) 關閉時)，流體內之壓力快速上升，而其引發之聲波 (acoustic wave) 將衝擊到管路表面、管路彎曲處 (bend)等，而造成管路震動及產生之聲響，並對管路建築物本身造成損害，此現象稱為『水鎚』(water hammer)。 對理想氣體而言，P = RT 故 (P/)T = RT = P/，故

因為  = 1/v， 故 d = -dv/v2 ， 且

故對理想氣體而言， (T = constant) 壓縮係數之倒數稱為『等溫壓縮力』(isothermal compressibility) ：

故等溫壓縮力為壓力改變時，體積或密度之改變分量。

體積澎脹係數(Coefficient of volume expansion) 流體密度隨溫度之變化，更勝於對壓力之變化。此變化造成自然界之風、海流、煙囪、及自然對流等現象。在等壓下，改變溫度造成密度或體積改變之分量，稱為體積澎脹係數  (唸 beta)： 黏滯力(Viscosity) 假設流體靜止於兩板之間，當上塊板施與一力F，當平衡時此板將以一速度u = V移動，流體與上板及流體與下板均無相對速度，故連接處流體之速度分別為V及0，此稱為”無滑動條件”（no-slip condition）。 兩板之間流體將產生流動，而其速度 u = u(y) 將可證明為線性， u(y) = Vy/ ，並產生一速度梯度（velocity gradient），du/dy = V/ 。 牛頓流體(Newtonian fluids) 與非牛頓流體(non-newtonian fluids) 當流體受剪應力，其角度變形率正比於剪應力時，即黏滯係數為常數，此類流體稱為牛頓流體；當角度變形率與剪應力之關係非線性時，此類流體稱為非牛頓流體 當黏滯係數隨變形率增加而變大時，此類流體稱為『膨脹流體』(dilatant or shear thickening fluids)，例如含有漩浮砂粒之液體；當黏滯係數隨變形率增加而變小時，此類流體稱為『偽塑性流體』(pseudoplastic or shear thinning fluids)，例如油漆、高分子溶液等；當流體可以抵抗剪應力而不會變形，而超過一剪應力臨界值後其黏滯係數類似於牛頓流體時，此類流體稱為『賓漢塑性』(Bingham plastic)。

黏滯力之物理意義： 流體之黏滯力代表流體對於其阻擋變形之力量。 在氣體與液體中其形成之原因大不相同。 氣體：氣體之黏滯力是由於氣體分子之間碰撞，造成”動量交換”（momentum exchange）而產生。 液體：液體的分子以”長鍊”（long change）形式組成，液體之黏滯力乃由於長鍊與長鍊間之凝聚力（cohesion force）所造成。 黏滯力與溫度之關係： 當溫度增加，氣體分子之能量與動量均增加，分子間之碰撞及動量交換亦增加，故黏滯力增加。 對於液體，分子鍊間之凝聚力隨溫度增加而破壞，黏滯力亦減小。

黏滯係數之測量 圓筒旋轉式黏滯計（viscometer） 中心圓筒固定而外層圓筒旋轉，固定中心圓筒所需之力以力矩計（torque meter）計算之。 枯魏（Couette）流場及波蘇拉（Poiseuille）流場 流體在管路內產生流動的方法有兩類： 1. 由於邊界移動，例如兩平板之間之流場，此類流動稱之為枯魏（Couette）流動。 2. 由於管路內有壓力降（pressure drop），例如普通水管内之流場，此類流動稱之為波蘇拉（Poiseuille）流動。 因牛頓流體之剪應力（）正比於流體之速度梯度（du/dy）， 故流場內之速度分佈（velocity profile or velocity distribution）可由剪應力積分而得之；反之，若已知流場 內之速度分佈，則可將其微分而求得流場內剪應力之分佈。 流場內之剪應力，可視為任一假想平面與其緊臨平面間之”磨擦力”（frictional force）。 剪應力場（stress field） 流體內力（forces）可分兩類： 1. 體積力（body forces）- 重力（gravitational force, ）、電磁力（EM force）等。 2. 表面力（surface forces）- 應力（stress force）、壓力（pressure force）。