User:Tungsiyiuhk/選擇公理

選擇公理（英文：Axiom of Choice，簡稱AC或AoC）係數學入面一條集合論公理。佢有幾種表達方式，其中一種係，畀一個由索引族$I$標籤嘅集合族$(S_{i})_{i\in I}$，當中每一個集都唔係空嘅，咁就存在一個方法，係每個集入面揀一個元素出嚟，形成$(x_{i})_{i\in I}$。另一個表達方法係，存在函數$f:I\to \bigcup S_{i}$，符合$f(i)\in S_{i}$，呢個函數$f$叫做選擇函數。

喺好多情況下，一個選擇函數唔使選擇公理都可以揀出嚟，特別係衹需要喺有限個集合入面選擇嘅情況（呢種情況下用得歸納法），或者存在一個自然嘅性質——一個各個集合一面都只得一個元素有嘅性質——導致可以自然咁進行選擇。一個例子係，如果所有集合嘅所有元素都係自然數，可以選擇最細嘅數：如果集合係$\{\{4,5,6\},\{10,12\},\{1,400,617,8000\}\}$，就可以依呢種方法選出嚟$\{4,10,1\}$。喺呢種情況下，「始終選擇最細嘅數」係一個選擇函數。就算有無窮多個自然數集合嘅子集，都存在「選出每個集合最細嘅數」呢個選擇函數；選擇公理係呢度仲冇乜用。但係，如果係實數集嘅全部子集，咁就寫唔出任何可以用嚟揀出一個實數嘅典型性質/規則。呢種情況下，呢取使用選擇公理先可以揀一個選擇函數。

羅素使用呢種類比闡明呢種可以選擇一個元素嘅性質：對所有任意（甚至係無窮對）左鞋同右鞋嘅無序對，我哋都可以選出每一對嘅左鞋，並形成一個左鞋嘅集合。呢一步唔使選擇公理。但係如果係無窮多對左襪同右襪嘅無序對（假設我哋分辨唔出邊隻係左襪，邊隻係右襪），並冇一種自然（典型）嘅方法喺每一對入面選擇一隻襪。咁就必須要用選擇公理先得。