老虎悖論

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老虎悖論博弈論邏緝嘅一條悖論

故仔[編輯]

有個後生仔想向公主求婚。國王提出條件,同後生仔講:「呢度有五度門,你逐度打開佢;其中一度門後面有隻老虎,但係無論點你都估唔到係邊度門。打死隻老虎你就可以同公主結婚。」

後生仔就開始諗,假如老虎喺第五度門,咁當佢將前四度門打開之後都冇發現老虎,咁佢就可以肯定老虎喺第五度門後面,因為國王通過無論點佢都唔會估到老虎喺邊度門後面,如果係咁國王就係錯。所以老虎肯定唔會喺第五度門後面。同樣道理,老虎亦都唔會喺第四道門後面,否則年輕人打開咗三道門之後,只係剩番兩道門,老虎既然唔喺第五度門後面,咁就會喺俾佢估到嘅第四度門後面;如此類推,老虎就會變成唔存在喺任何一道門後面;後生仔呢個時候就唔諗咁多,冒冒失失咁依次序嚟推開啲門,結果老虎喺第二度門後面跳出嚟,咬死咗後生仔。

國王最後睇見之後就話:「都話咗你點都估唔到老虎喺邊度門後面。」

悖論分析[編輯]

呢個推理錯喺邊度好明顯:點解後生仔佢信「估計唔到」,但係就唔信「真係有老虎」呢?

點解問題改成「五度門」之後,會變得複雜咗?因為門後面變成「可能有老虎,亦都可能冇老虎」。但係無論如何,「如果後生仔嘅推理成立」,咁樣就算國王將老虎放喺第五度門後面,都會係「估唔到」,學者爭論嘅重點只係在於:呢個推理究竟錯喺第幾步?

唔同嘅主張:

主張錯喺第一步
  • 如果第一步係啱嘅,咁樣後面幾步點解會係錯嘅呢?所以一開始就已經錯咗。
主張錯喺第二步
  • 後生仔最後信「冇老虎」。但係國王並唔會預知道後生仔點諗,所以的確唔可能將老虎放喺第五度門。如果後生仔信「一定有老虎」,咁樣係開咗頭四度門老虎都冇出現之後,第五度門後面嘅老虎就會變成「估得到」。
  • 既然老虎係喺第五度門嘅話,佢一定係「估得到」,咁樣當已經開咗三度空門嗰陣時,實際情況係點樣?寫成邏輯式子就係:前提一、老虎係估唔到嘅。前提二、老虎如果喺第五度門嘅時候,係可以估到。前提三、老虎唔喺第五度門時,就一定係喺第四度門。前提四、老虎如果喺第四度門,係可以估得到。結論:前提互相矛盾。
  • 呢個時候嘅邏輯推理入面,既然前提係互相矛盾,咁必定有一個以上唔成立嘅地方,所以可能性就會係以下四個其中之一、或者係更多未諗到出嚟嘅可能性:
    • 一、老虎可以預料得到嘅。
    • 二、老虎如果喺第五度門,係預料唔到嘅。
    • 三、老虎唔喺第五度門嗰陣時,唔代表佢一定係喺第四度門。
    • 四、老虎如果喺第四度門時,係預料唔到嘅。

二同四本身就係矛盾命題,唔考慮;三會導致老虎變成薛定諤的貓,亦都即係既存在亦唔存在嘅狀態(後生仔將老虎往前門推係錯嘅,因為前提中包含「已經開咗三度空門」)。所以可能性只有一個:老虎可預料。但若果老虎係可以預料得到,咁樣就代表國王講大話,如果國王可能講大話,咁樣老虎亦都真係有可能唔喺度。

  • 呢個時候正確嘅結論係:國王一定講緊大話,但佢嘅大話可能係「老虎可預料」,亦都可能係「根本冇老虎」,後生仔只係偏心於一個可能性,結果就只會反過嚟幫國王完成佢嘅大話。
主張錯喺最後一步
  • 如果「估唔到」並唔係一種保證,而只係意味住「相當高嘅機率」,「有老虎」先至係保證,咁成個情況就會唔同晒。可以列成以下嘅狀況:
  • 如果後生仔連估五次「老虎唔係度」,不可預料率會係100%,即係最壞嘅狀況。
  • 如果後生仔連估五次「老虎係度」,咁就應該將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放,因為平均估錯次數係兩次,亦即估錯一次要加不可預料率 50% 先至公平。
  • 假設國王隨便咁放隻老虎,呢個時候後生仔採用嘅策略,以:
    • 先兩次唔估,再連續估老虎喺:成功率0、0、100、50、0,平均 30 最高分
    • 先三次唔估,再連續估老虎喺:成功率0、0、0、100、50,平均都係 30 最高分
    • 但係以上兩種高分解,頭兩度門都係安全門,必須混合下列解答靈活運用
    • 如果第一次就估老虎喺度:成功率100、-50、-50、50、0,平均只有 10 分
    • 如果第二次就估老虎喺度:成功率0、100、50、0、-50,平均都有 20 分
    • 為咗方便計算,假設後生仔平均運用呢四種策略,綜合以上,老虎喺每度門嘅平均不可預料率就係 75%、87.5%、75%、50%、100%
  • 好明顯呢個時候國王嘅對應策略,如果將老虎放喺失分最低嘅第五度門,可能會俾後生仔亂咁估嘅情況下估中,所以將老虎放喺失分第二低嘅第二度門會係最好嘅選擇,只要將後生仔估中嘅機率保持喺 20% 以下,就都可以理直氣壯咁話係有好高嘅不可預料率。

分析結果[編輯]

  • 呢個只係一個初步嘅計算。更精確嘅計算要用到博弈論
  • 後生仔其實係錯喺最後一步:佢應該從「老虎唔存在」呢個矛盾嘅結論嚟導出國王講嘅「估計唔到」其實係指機率,再喺機會率上推測國王到底將老虎放喺第幾度門。
  • 主張錯在邏輯語意:一個科學事實,海森堡測不準原理可以用嚟反駁後生仔嘅推理。亦即係話假設老虎喺第五度門後面,當後生仔推開咗四度門之後,如果質疑第五度門後面嘅老虎係「可以估計得到」,國王可以答辯話:「我話老虎不可預料,係喺你開門之前」,意即開門(測量)呢個動作改變咗受測物嘅性質「不可預料」。如果預計國王會咁樣答辯,咁樣後生仔嘅五步推理全部都係錯嘅。但呢種講法亦有反對者,佢哋認為呢種答辯雖然係有科學根據、但都要後生仔有一定程度嘅科學知識先至明,唔係嘅話國王就會變成秀才遇着兵、有理講唔清。

相同例子[編輯]

突擊測驗

阿 SIR 宣布下星期一至五其中一日會舉行突擊測驗。學生認為根本就唔存在突擊測驗。若果去到星期四都重未舉行測驗,咁樣就即係星期五一定會舉行,因為咁樣係預計得到,咁樣就唔算係一個突擊測驗,所以星期五亦都唔會舉行。若果星期三重未舉行,而星期五又唔會舉行,星期四就會舉行……如此類推,形成「阿 SIR 根本就唔會進行突擊測驗」嘅錯誤結論。

出面網頁[編輯]