Hopf代數

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Hopf 代數(Hopf Algebra)係種代數結構,喺李雙代數上再加一重結構:對頂算子(antipode)。Hopf 代數喺代數拓樸同表示論都會出現,亦係研究量子羣嘅理論基礎。

定義[編輯]

設有

  • k -一交換環;

k上嘅一Hopf 代數係序列 (A,∆, ∊,μ,ι,S) ,其中

  • A 係 k 上嘅代數,亦同時係 k 上嘅逆代數(co-algebra);
  • 逆積影射 ∆: A-->A ⊗ A 同埋逆單位元 ∊:A-->k 都同時係 k-代數 影射;
  • 代數積 μ: A⊗A -->A 同 單位元 ι: k-->A 同時係逆代數影射;
  • k-模影射 S:A-->A [叫做對頂算子(antipode)],令下面嘅圖交換:
            S⊗id
A⊗A -------> A⊗A
    ↑                       | μ 
    |  ∆                   ↓   
  A    -------->      A
          ι ∙∊

           id⊗S
A⊗A -------> A⊗A
   ↑                         | μ 
    | ∆                     ↓ 
  A    -------->     A
          ι∙∊

Hopf代數間嘅態射(morphism) f: A-->B 係 支 k-模影射,同時係A同B上嘅代數結構同埋逆代數結構嘅態射。

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  • 有限羣G嘅羣環 k[G]
  • 羣上嘅函數環
  • 包絡代數
  • 量子羣
  • 李羣嘅同調[1]

Hopf 代數嘅表示[編輯]

  • 伴隨(adjoint)表示[2]: ad(a ⊗ a') = ∑_i ai a' S(ai); ∑ ai⊗ai := ∆(a)


  • Trivial 表示
  • 正則(regular)表示


唔變積分[編輯]

好似緊緻李羣,Hopf代數上都有不變積分嘅概念:

  • A 係 域 k 上嘅Hopf 代數。
  • 1∈ k。

定義:

  • 左不變積分 H 係 A* 嘅一元,使到

    〈 α ⊗ H , ∆(a)〉= 〈α , 1〉〈H, a〉。

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  • G -緊李羣
  • dμ -Haar 測度
  • f -G嘅有限維表示嘅矩陣元
  • 〈H, f〉:= ∫G f dμ

[3]

更深入嘅結構[編輯]

亦睇下[編輯]

[編輯]

  1. Chari - Pressley: p.108
  2. Chari, Pressley: p.110
  3. Chari - Pressley: p.115
  4. Chari-Pressley, p.119

[編輯]

  • Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley:《A Guide to Quantum Groups》,1995, ISBN 0-521-55884-0.