Γ函數

Γ 函數，亦都叫做伽瑪函數 (Gamma函数) ，佢喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。

定義

Γ 函數嘅定義係：

$\Gamma(z)=\begin{matrix}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\quad(t>0) \end{matrix}$

呢個積分喺實數 $z>0$ 時係絕對收斂，也都可以考慮 $z$ 為複數嘅情形，呢個時候要求 $\mathrm{Re}(z) > 0$。

無窮乘積

Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示：

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

其中 $\gamma$ 就係歐拉常數。

Gamma積分

$1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}dx$

$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx$

遞歸公式

Γ 函數嘅遞歸公式係：

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$

對於正整數 n，有

$\Gamma(n+1)=n!$

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

推導遞歸公式

$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n dx$

用分部積分法嚟計呢個積分：

$\int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx$

當 x = 0 時，$\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$。當 x 趨於無窮大時，根據洛必達法則，有：

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0$.

因此第一項$\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty$變咗零，所以：

$\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx$

等式嘅右面啱啱就係n$\Gamma(n)$。所以遞歸公式係：

$\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)$。

重要性質

Γ 函數喺實軸上嘅函數圖形

• 當$z\to 0^+$時，$\Gamma(z)\to+\infty$
• 歐拉反射公式：

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)$

由上面條式可以知道當 z = 1/2 時，$\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$。

• 乘法定理：

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).$

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).$

• 補充：

$\Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) = \frac{ (2n) ! \sqrt{\pi} }{ n ! 4 ^ n }$

呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。

特殊值

$\begin{array}{lll} \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\ \end{array}$

斯特靈公式

斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度。

解析延拓

Γ 函數嘅絕對值函數圖形

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 $z$ 嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在，而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1)$

並注意到函數 $\sin (\pi z)$ 係成個複平面上有解析延拓，我地可以喺 $\mathrm{Re}(z)<1$ 時設

$\Gamma(z) := \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}$

從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數，佢喺 $z=0,-1,-2,-3\cdots$ 有單極點，留數係

$\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}$

睇埋

• 雙伽瑪函數
• 多伽瑪函數

外部連接

• GAMMA 函數嘅性質 [1]