Γ函數

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Γ 函數,亦都叫做伽瑪函數 (Gamma函数) ,佢喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。

定義[編輯]

Γ 函數嘅定義係:

\Gamma(z)=\begin{matrix}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\quad(t>0) \end{matrix}

呢個積分喺實數 z>0 時係絕對收斂,也都可以考慮 z複數嘅情形,呢個時候要求 \mathrm{Re}(z) > 0

無窮乘積[編輯]

Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示:


\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}
\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

其中 \gamma 就係歐拉常數

Gamma積分[編輯]


1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}dx


\Rightarrow
\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha}
=
\int_{0}^{\infty}
x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx

遞歸公式[編輯]

Γ 函數嘅遞歸公式係:

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

對於正整數 n,有

\Gamma(n+1)=n!

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

推導遞歸公式[編輯]

\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1}  dx  =  \int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx

分部積分法嚟計呢個積分:

\int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx  = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx

當 x = 0 時,\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0。當 x 趨於無窮大時,根據洛必達法則,有:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0.

因此第一項\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty 變咗零,所以:

\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx

等式嘅右面啱啱就係n\Gamma(n)。所以遞歸公式係:

\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)

重要性質[編輯]

Γ 函數喺實軸上嘅函數圖形
  • z\to 0^+時,\Gamma(z)\to+\infty
  • 歐拉反射公式:
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)
由上面條式可以知道當 z = 1/2 時,\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}
  • 乘法定理:
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).
  • 補充:

\Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right)
= \frac{ (2n) ! \sqrt{\pi} }{ n ! 4 ^ n }
呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。

特殊值[編輯]


\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

斯特靈公式[編輯]

斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度。

解析延拓[編輯]

Γ 函數嘅絕對值函數圖形

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 z 嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在,而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1)

並注意到函數 \sin (\pi z) 係成個複平面上有解析延拓,我地可以喺 \mathrm{Re}(z)<1 時設

 \Gamma(z) := \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}

從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數,佢喺 z=0,-1,-2,-3\cdots 有單極點,留數係

\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}

睇埋[編輯]

外部連接[編輯]

  • GAMMA 函數嘅性質 [1]