分裂域

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抽象代數入面,一個系數\mathbb{K}多項式 P(X) 嘅分裂域根域)係 \mathbb{K} “最小”嘅一個擴域 \mathbb{L} ,使到喺其中 P 可以被分解為一次因式 X-r_i 的乘積,其中嘅 r_i\mathbb{L} 入面嘅元素。一個 \mathbb{K} 上嘅多項式並唔一定只係有一個分裂域,但係佢所有嘅分裂域都係同構嘅:在同構意義上,\mathbb{K} 上嘅多項式嘅分裂域係唯一嘅。

術語同定義[編輯]

稱一個系數\mathbb{L} 嘅多項式 P(X) 係 \mathbb{L} 嘅某個擴域 \mathbb{L}分裂,if and only if 呢個多項式可以用呢個域入面嘅元素黎分解(分裂)成最簡單嘅一次因式嘅乘積:

P = \sum_{i=0}^k a_i X^i = \prod_{i=1}^k (X - r_i)

其中嘅 a_i \in \mathbb{K}r_i \in \mathbb{L}。換句話嚟講,P都在 \mathbb{L} 中。

令到 P 喺其中分裂的擴域 \mathbb{L} 有好多,譬如對於某個得 P 分裂嘅 \mathbb{L},佢任意嘅擴域 \mathbb{L}' 亦都滿足。然而其中入面“最細”嘅域在同構意義上係獨一無二嘅。所謂嘅“最細”域,係指符合下面條件嘅一個擴域 \mathbb{E}

  1. \mathbb{E} 入面,P 可以分解為一次因式嘅乘積;
  2. \mathbb{E} 嘅任何真子域(不等於自已)入面, P 無任何方法可以好似咁黎分解。

咁樣啲擴域叫做 P\mathbb{K} 上面嘅分裂域

例子[編輯]

如果 \mathbb{K}有理數域 \mathbb{Q},多項式為

P(X) = X3 − 2,

咁樣佢嘅分裂域 \mathbb{L} 可以係喺 \mathbb{Q} 之中加多三次單位根  \omega 同2 嘅立方根而得到嘅擴域:\mathbb{Q}(\omega , \sqrt[3]{2} )。因為呢個時候 P 可以寫成:

P = (X-\sqrt[3]{2})(X-\omega \sqrt[3]{2})(X-\omega^2 \sqrt[3]{2})

同一個多項式喺唔同嘅域上嘅分裂域唔一定相同,好似:

多項式 x2 - 1 喺準有限域 GF7 上面嘅分裂域係 GF7,因為在其上 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) 已經完成咗分解。

性質[編輯]

給定多項式 P(X) 在 \mathbb{K} 上的分裂域 \mathbb{E},假設 \mathbb{E} 入面 P 分解為

P = \prod_{i=1}^k (X - r_i)

咁樣 \mathbb{E} = \mathbb{K}(r_1, r_2, \cdots , r_k)

對於域 \mathbb{K} 的一個代數閉域擴域 \mathbb{A}\mathbb{K} 上嘅一個多項式 P ,存在 P\mathbb{K} 上面嘅唯一一個分裂域 \mathbb{L},使到 \mathbb{K} \subset \mathbb{L} \subset \mathbb{A}

對於 \mathbb{K} 嘅一個可分擴張 \mathbb{K}'\mathbb{K}'伽羅華閉包係一個分裂域,亦都係 \mathbb{K} 的包含 \mathbb{K}' 的一个“最小”的伽羅華擴張。一個咁樣嘅伽羅華閉包包含咗 \mathbb{K}' 入面任意元素 a 喺 \mathbb{K} 上面嘅極小多項式\mathbb{K} 上嘅分裂域。

參考[編輯]

參考來源[編輯]

  • Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
  • David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1