龐加萊猜想

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問題[編輯]

Jules Henri Poincare喺1904年嘅猜想:

  • 任何一個三維流形,如果佢嘅所有同倫群都同三維球面嘅同倫群無分別(第一同第二個同倫群都要係零),咁佢就同三維球面同胚 -- 即係係拓撲學上冇分別。

阿 Jules Henri 本係1900年希望同調群零(唔使同倫群零,一個弱啲嘅條件)就夠, 但佢自己好快發現咗個反例 -- 著名嘅龐加萊同調球(又叫正十二面體空間)。

問題可簡化成

  • 任何一個三維流形,如果佢係一個單連通流形(即渠上面所有閉曲線都可縮成一點),咁佢就同三維球面同胚。

龐加萊猜想難係邊道?[編輯]

可能因為條問題太簡單,所以難入手。 雖然佢嘅高維數姐妹題, 分別由兩位天才 Stephen Smale(五維以上,1960's) 同Michael Freedman(四維,1982)解決;但係嗰的方法喺三維行唔通。(想知詳情嘅讀者可問一問丘成桐教授)

William Thurston出場:三維流形幾何化構想[編輯]

1970年代William Thurston 提出:任何一個三維流形都可以被切成幾舊,每舊都屬於佢指定嘅八種類型幾何之一。

龐加萊猜想係幾何化構想嘅特例;(Geometrization Conjecture => Poincare's Conjecture)。



Richard Hamilton出場: Ricci 流[編輯]

\partial_t g_{ij}=-2 R_{ij}

Hamilton 嘅構想唔太難理解。佢要個三維流形嘅度量 gij 沿一特定方向變化 (即係 Ricci 流; "Ricci" 指Ricci張量 Rij;可變量 t 係「時間」),嘗試令到個三維流形平平均均,睇渠到極限時變成點樣。但一邊平另一邊又可能會突起,所以中途可能會產生 奇異集 (singularity),咁就要切開佢。到最後, 你會得到三維流形嘅自然分解,實現 Thurston 嘅構想.

但實行起來就有好多技術問題,例如:中途會產生邊種奇異集? 點樣控制? 想知詳情嘅讀者可問一問專家.(例如,寫個電郵畀Grisha)。

Grisha Perelman 出場: 塌縮控制/regularity 估計?[編輯]

係2002年,聖彼得堡Steklov數學院嘅Grigory Perelman(一位研究Alexandroff 空間同埋 Ricci 流嘅專家)係 www.arXiv.org 出咗篇文章,入面第三頁話:

  • "...the implementation of Hamilton program would imply the geometrization conjecture for closed three-manifolds....In this paper we carry out some details of Hamilton program."

Grisha後又來登咗兩篇文章補充, 但到底佢有無完全證明龐加萊猜想,就好難講;佢短短三篇文,非常難理解,好多專家研究到現今,先至出咗幾篇幾百頁嘅論文. 總之,佢貢獻好大,好關鍵。

Grisha 係2003年春天,訪問咗麻省理工學院一個星期,跟住訪問紐約石溪州立大學兩個星期,講咗十幾場報告。

Grisha嘅一啲構築嘅啟發來自量子場論、重整群理論 (見 p.3, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Gregory Perelman, November,2002 ); 但佢無詳細講清楚。

結果?[編輯]

各方專家嘅解讀:

花邊新聞[編輯]

  • Grisha Perelman 早睡早起。 Grisha Perelman好少使錢。
  • Poincare 過目不忘。

參考[編輯]