正交基

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線性代數當中,一個內積空間正交基係元素兩兩正交。基中元素嘅模長都係單位長度 1 嘅正交基叫做標准正交基

無論係喺有限維定係無限維空間入面,正交基嘅概念都係好重要嘅。喺無限維希爾伯特空間當中,正交基唔再係Hamel基,亦即係話唔係每個元素都可以寫成有限個基中元素嘅線性組合。所以喺無限維空間入面,正交基應該更加嚴格咁定義為由線性無關而且兩兩正交嘅元素組成、張成嘅空間係原空間嘅一個稠密子空間(而唔係整個空間)嘅集合。

注意,喺冇定義內積嘅空間入面,“正交基”呢三個字係冇意義嘅。所以只有當一個巴拿赫空間係一個希爾伯特空間,佢先至會有正交基。

例子[編輯]

  • 喺歐幾裡德空間 \mathbb{R}^{3} 入面,集合:{e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} 組成咗一個標准嘅正交基。
  • fn(x) = exp(2πinx) 定義嘅集合:
{fn : nZ} 組成在復勒貝格空間L2([0,1])上的一個標准正交基。

基本性質[編輯]

BH上的一個正交基,那麼H中的每個元素x都可以表示成:

x=\sum_{b\in B}{\langle x,b\rangle\over\lVert b\rVert^2} b

B是標准正交基時,就是:

x=\sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b

x模長表示為:

\|x\|^2=\sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2.

即使B不是可數的,上面和式裡的非零項也只會有可數多個,所以這個表達式仍然是有效的。上式被稱作x傅立葉展開,詳見傅裡葉級數

BH上的一個標准正交基,那麼H同構”於序列空間l2(B)。因為存在以下H -> l2(B)的雙射Φ,使得對於所有 H中的 xy 有:

\langle\Phi(x),\Phi(y)\rangle=\langle x,y\rangle

正交基的存在性[編輯]

運用佐恩引理Gram-Schmidt正交化方法,可以證明每個希爾伯特空間都有基,並且有正交基。同一個空間的正交基的基數必然是相同的。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成的正交基,就說這個空間是可分的。

Hamel基[編輯]

有前面的定義可以知道,在無窮維空間的情況下,正交基不再是一般線性代數的定義下的基。為了區分,把一般線性代數的定義下的基稱為Hamel基。

在內積空間的實際應用中,Hamel基甚少出現,因此提到“基”的概念時,一般指的是正交基。

參看[編輯]