正交

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正交 (Orthogonal) 係直觀概念入面垂直嘅推廣。作為一個形容詞,只有喺一個確定嘅內積空間當中先至有意義。若果內積空間入面兩向量內積係 0 ,咁就係叫做正交。如果能夠定義向量間嘅夾角,咁正交就可以直接理解成垂直

各種正交概念[編輯]

正交子空間[編輯]

內積空間中兩個向量內積都係 0,咁佢地兩者就係正交。類似地,若內積空間入面嘅向量 v 同子空間 A 入面嘅每個向量都正交嘅話,咁呢個向量就係同子空間A正交。若果內積空間嘅子空間 AB 滿足其中一個嘅每個向量都同另一者正交,咁佢地就都係正交子空間。

正交變換[編輯]

正交變換T : V \rightarrow V 係保持內積嘅線性變換。即是話,對兩個向量,佢地嘅內積等於佢地喺函數 T 下嘅像嘅內積:

\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.

即係話正交變換保持向量嘅長度唔變,亦都保持兩個向量之間嘅角度不變。

歐氏空間嘅例子[編輯]

喺 2D 或者 3D 嘅歐幾裡德空間入面,兩個向量正交 if and only if 佢地嘅點積係零,即係佢地成 90°角。可以睇得出正交嘅概念正係喺呢個基礎上推廣而嚟嘅。喺 3D 空間入面,一條直線嘅正交子空間係一個平面,相反亦都係一樣。4D 空間入面,一條直線嘅正交子空間就係一個超平面(Hyperplane)。


正交函數集[編輯]

對於兩個函數 fg,可以定義如下的內積:

\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.

呢度引進一個非負嘅權函數w(x)。呢個內積叫做帶權w(x)嘅內積。

兩個函數帶權w(x)正交,係指佢地帶權 w(x) 嘅內積係 0 。

\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.

由此可以類似定義帶權 w(x) 嘅模。

||f||_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}

一個函數列{ fi : i = 1, 2, 3, ... }如果滿足:

\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=||f_i||^2\delta_{i,j}=||f_j||^2\delta_{i,j}

就叫做帶權w(x) 嘅正交函數族

如果滿足:

\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}

其中

\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ i=j \\ 0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{matrix}\right\}
克羅內克函數

就叫做帶權w(x) 嘅標準正交函數族

參見正交多項式

睇埋[編輯]