三角形

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Trikotnik.png

三角形係由三條線段順次首尾相連,組成嘅一個閉合嘅平面圖形,係最基本嘅多邊形

一般用大寫英文字母ABC為頂點標號。用小寫英語字母abc表示邊;\alpha\beta\gamma或者頂點標號表示角。

基本概念[編輯]

  • 中線:三角形一邊中點同呢邊所對定點嘅連線段。
  • 高線:由三角形一個頂點向佢嘅對邊所作嘅垂線段。
  • 角平分線:平分三角形一角、一個端點喺呢一角嘅對邊上嘅線段。
  • 中垂線:通過三角形一邊中點同該邊所垂直嘅線段,又叫做垂直平分線。

性質[編輯]

定理[編輯]

  • 三角不等式
    • 三角形兩邊嘅和大過第三邊,兩邊之差嘅絕對值小過第三邊。如果兩者相等,就係退化三角形。
    • 三角形任意一個外角大過唔相鄰嘅一個內角。

角度[編輯]

三角形兩隻內角嘅和,等於剩落嚟嘅一隻外角。

喺歐幾里德平面內,三角形嘅內角和等於180°。

分類[編輯]

銳角、鈍角三角形[編輯]

鈍角三角形其中一隻角係鈍角(大於90°)嘅三角形,其餘兩角都細過90°。

銳角三角形嘅所有內角都係銳角(小於90°)。

直角三角形[編輯]

有一個角係直角(90°)嘅三角形為直角三角形

成直角嘅兩條邊稱為直角邊cathetus),直角所對嘅邊係斜邊hypotenuse);或最長嘅邊稱為,底部嘅一邊稱作(又作),另一邊稱為

可以透過唁同角度嘅直角三角形各邊嘅比求得銳角三角函數

等邊三角形[編輯]

Triangle.Equilateral.svg

等邊三角形(又叫正三角形),係三邊相等嘅三角形。三個內角相等,都係60°。佢係銳角三角形嘅一種。當佢嘅邊長係a,面積公式就係\frac{\sqrt 3}{4}a^2

等邊三角形係正四面體正八面體正二十面體呢三個正多面體面嘅形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形

等腰三角形[編輯]

Triangle.Isosceles.svg

等腰三角形係三條中有兩條邊相等(或者其中兩隻內角相等)嘅三角形。等腰三角形中嘅兩條相等嘅邊被稱為,而另一條邊被稱為底邊,兩條腰交叉組成嘅嗰個點被稱為頂點,佢哋組成嘅角被稱為頂角

等腰三角形嘅重心、中心同垂心都位於頂點向底邊嘅垂線上。

等腰三角形嘅底嘅垂直平分線,啱啱亦係對應角嘅角平分線。

等邊三角形係等腰三角形嘅一個特殊形式。

退化三角形[編輯]

退化三角形係指面積係零嘅三角形。滿足下列條件之一嘅三角形就可以稱為退化三角形:三個內角嘅度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三邊其中一條邊嘅長度為0;一條邊嘅長度等於另外兩條嘅和。有人認為退化三角形唔算係三角形,咁係由於佢介乎於三角不等式之間,喺一啲資料中已否定咗其中一條邊等於其餘兩條邊嘅和嘅情況。

特性[編輯]

三角形具有穩定性,若果兩個三角形有以下嘅邊角關係,佢嘅形狀、大細就唔會變,兩個三角形就係全等三角形

  • SSS(Side-Side-Side、邊、邊、邊):各三角形嘅三條邊嘅長度都對應地相等。
  • SAS(Side-Angle-Side、邊、角、邊):各三角形嘅其中兩條邊嘅長度對應地相等,而且兩條邊夾住嘅角對應地相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle、角、邊、角):各三角形嘅其中兩個角對應地相等,而且兩條邊夾住嘅邊對應地相等。
  • RHS:喺直角三角形中,斜邊同埋另外一條直角邊對應地相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side、角、角、邊):各三角形嘅其中兩個角對應地相等,而且其中一組對應角嘅對邊亦對應地相等。

AAA(Angle-Angle-Angle、角、角、角)只可以保證兩個三角形相似,唔可以保證全等。SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)亦唔可以保證兩個三角形全等。

面積[編輯]

已知兩邊同埋其夾角[編輯]

當a、b係所知嘅兩邊,C係個夾角,三角形面積係S=\frac{1}{2}ab\sin{C}

已知底同高[編輯]

Triangle area.gif

S=\frac{1}{2}bh,即底×高÷2。因為兩個相同嘅三角形砌到一個平行四邊形

已知三邊長[編輯]

希羅公式(又稱海倫公式): 當p等於三角形三邊和嘅一半:

p=\frac{a+b+c}{2}

S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}

化簡後就係:

S = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}

秦九韶亦求過類似嘅公式,稱為三斜求積法

\sqrt{\frac{1}{4} {(c^2a^2-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}}

基於希羅公式喺三角形擁有非常細嘅角度嗰時並唔係數值穩定,有一個變化嘅計法。當a ≥ b ≥ c,三角形面積為\frac{1}{4} \sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}

坐標系中已知三頂點座標[編輯]

(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)三個頂點構成嘅三角形,面積就係:

\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}

任三角形外心同內心半徑算面積法[編輯]

若果已知三角形面積為x,三邊邊長分別為a、b、c,s係三角形周長(a+b+c)內心半徑(r):

x=\frac{1}{2}sr

外心半徑(R):

x=\frac{abc}{4R}

半形定理[編輯]

喺三角形  ABC\,中, 三個角嘅正切同三邊有以下關係:

 \tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}
 \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}
 \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

證明:

 \tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}

因為: \sin \frac{A}{2}>0

 \cos \frac{A}{2}>0

所以: \sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

=\sqrt{ \frac{a^2+{\left(b-c\right)}^2 }{4ac}}
=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4ac}}

而: \cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

=\sqrt{ \frac{{\left(b-c\right)}^2-a^2 }{4ac}}
=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4ac}}

所以: \tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4ac}}}{\sqrt{\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4ac}}}=\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{\left(b+c+a\right)  \left(b+c-a\right)  }}

即: \tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

同理可得

 \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}
 \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

用三角形嘅三邊表示角平分線長度[編輯]

當喺三角形  ABC\,中,已知三邊  a \,  b \,  c \,,若果三個角  A \,,

  B\,  C\,嘅角平分線分別係  t_a\,  t_b\,

  t_c\,,就用三邊表示三條內角平分線長度公式為

  t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)bc}
  t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+c-b \right)ac}
  t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}

其他三角形有關嘅定理[編輯]

三角形嘅五心[編輯]

名稱 定義 備註
內心 三個內角嘅角平分線嘅交點 三角形內切圓嘅圓心
外心 三條邊嘅垂直平分線嘅交點 三角形外接圓嘅圓心
垂心 三條高嘅交點
形心(重心) 三條中線嘅交點 被交點劃分嘅線段比例為1:2(靠近角嘅一段較長)
旁心 外角嘅角平分線嘅交點 有三個,為三角形某一邊上嘅旁切圓圓心

Triangle.EulerLine.svg垂心(藍)、形心(黃)同外心(綠)能連成一線,稱為歐拉線

外接圓同內切圓半徑[編輯]

 R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}

 r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2\left(a+b+c \right)}

睇埋[編輯]