數學

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歐幾里得,西元前三世紀嘅希臘數學家,而家被認為係幾何之父,呢幅畫係拉斐爾嘅作品《雅典學院》。

數學係利用語言研究數量結構變化同埋空間模型等概念嘅一門學科,佢借助語言闡述關係(數量關係,結構關係,前後變化關係),透過抽象化邏輯推理嘅使用,由計數計算量度同對物體形狀運動嘅觀察中產生。班數學家拓展呢啲概念,為咗公式化新嘅猜想以及從合適選定嘅公理定義之中建立起嚴謹推導出嚟嘅定理[1]。注意:公式亦都係語言嘅等價轉換。公式唔單只涉及到數量嘅關係,重涉及到性質嘅關係。

基礎數學嘅知識同運用總係個人同團體生活之中唔少得嘅一環。佢基本概念嘅精煉早響古埃及美索不達米亞同埋古印度嘅古代數學文本入面就可以見到。由嗰陣時開始,佢嘅發展就持續不斷咁有細幅度嘅進展,直到16世紀文藝復興時期,因為同新嘅科學發現相作用而產生嘅數學革新導致咗知識嘅加速發展,直至今日[2]

今日,數學使用喺世界上不同嘅領域入面,包括科學工程醫學經濟學等。數學對呢啲領域嘅應用通常被稱為應用數學,有時亦都會激起新嘅數學發現,並且導致全新學科嘅發展。數學家亦研究純數學,亦即係數學本身,而唔以任何實際應用為目標。雖然好多研究都係從純數學開始,但喺過程之中亦可以發現好多應用之處[3]

二十世紀三十年代喺法國創立嘅布爾巴基學派認為:數學,起碼純粹數學,係研究抽象結構嘅理論。結構,就係以初始概念(定義)同公理出發嘅演繹系統。學派認為,有三類基本嘅抽象結構:代數結構……),序結構偏序全序……),拓撲結構鄰域極限連通性維數……)。

詞源[編輯]

西方語言入面「數學」(英文mathematics;希臘文:μαθηματικά)呢個詞嚟自古希臘文μάθημαmáthēma),有「學習」、「學問」、「科學」,同埋另外重有個比較狹義而且技術性嘅意義-「數學研究」,即使係喺佢嘅語源內。佢嘅形容詞 μαθηματικόςmathēmatikós),意思係「同學習有關嘅」或者「勤力嘅」,亦都會被用嚟指「數學嘅」。佢喺英文中表面上嘅複數形式,同喺法文中嘅表面複數形式 「les mathématiques」,可以追溯到拉丁文嘅中性複數 mathematica,由西塞羅譯自希臘文嘅複數 τα μαθηματικάta mathēmatiká),呢個希臘文嘅詞畀亞里士多德用嚟指「萬物皆數」(睇畢達哥拉斯學派)嘅概念。[4][5][需要參考資料]

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內文: 數學史
奇普印加帝國嗰時用嘅計數架生

數學有好長歷史。佢被認為係起源於人類早期嘅生產活動;中國古代嘅六藝之一就有「數」[6],「數學」呢個詞響西方有希臘詞源μαθηματικός(mathematikós),意思係「學問嘅基礎」,源於μάθημα(máthema)(「科學,知識,學問」)。

史前人類就經已嘗試用自然嘅法則嚟衡量物質嘅多少、時間嘅長短之類抽象嘅數量關係,例如時間季節算術)亦好自然出現。古代嘅石碑亦證實當時經已有幾何嘅知識。

更進一步就需要寫作或者其他可以記錄數字嘅系統啦,例如符木或者響印加帝國入面用嚟儲存數據嘅奇普。歷史上曾經有過好多並且分歧嘅記數系統

瑪雅數字

由歷史時代嘅一開始,數學內嘅主要原理係為咗做稅務貿易等嘅相關計算,為咗了解數字之間嘅關係,為咗測量土地,同埋為咗預測天文事件而形成嘅。呢啲需要可以簡單咁概括為數學對數量、結構、空間同埋時間方面嘅研究。

到咗16世紀,算術、初等代數,重有三角學等嘅初等數學經已大致完備。17世紀變量概念嘅產生令啲人開始研究變化中嘅量同量嘅相互關係同埋圖形之間嘅相互變換。響研究經典力學嘅過程之中,發明咗微積分。隨住自然科學同技術嘅進一步發展,為咗研究數學基礎而產生嘅集合論數理邏輯等亦開始慢慢發展。

數學由古到今都一直不斷咁延展,而且同科學有豐富嘅相互作用,重令到兩者都得到好處。數學響歷史上有好多嘅發現,並且直到今日都重有新發現。根據Mikhail B. Sevryuk響美國數學會通報2006年1月嘅期刊入面所講,「存在響數學評論資料庫入面嘅論文同埋書嘅數量自從1940年(數學評論嘅創刊年份)經已超過咗一百九十萬份,而且每年重增加超過七萬五千份嘅細目。呢個學海嘅絕大部份都係新嘅數學定理同埋佢哋嘅證明。」[7]

形成、純數學、應用數學同埋美學[編輯]

牛頓(1643-1727),微積分發明者之一。
內文: 數學之美

數學出現喺包含數量、結構、空間同變化等嘅困難問題內。一開始,出現喺貿易土地測量同之後嘅天文學;今日,所有嘅科學都存在住值得數學家研究嘅問題,而且數學本身亦存在好多問題。牛頓同Gottfried Wilhelm Leibniz係微積分嘅發明者,費曼發明咗費曼路徑積分,用喺推理同物理嘅洞察,而今日嘅弦理論亦產生咗新嘅數學。有啲數學只同產生佢嘅領域有關,並且用嚟解答呢個領域嘅更多問題。但係一般俾一個領域產生嘅數學喺其他好多領域入面亦非常有用,重成為數學概念嘅一般知識(譬如微積分物理學產生,但係喺其他領域甚至社會科學都有廣泛應用)。即使係「最純嘅」數學通常亦有實際用途,呢個卓越嘅事實,被維格納稱為「數學喺自然科學中超出想像嘅有效性」。

如同大多數嘅研究領域,科學知識嘅爆發導致咗數學嘅專門化。有個主要嘅分歧係純數學應用數學。應用數學之內,又分成兩大領域,並且變成兩個獨立嘅學科-統計學電腦科學

好多數學家都談論數學嘅優美,佢內在嘅美學簡單一般化(抽象化)就係美嘅一種。另外亦包括巧妙嘅證明,例如歐幾里得對存在無窮多質數嘅證明,同埋加快計算嘅數值方法,好似快速傅立葉變換高德菲·哈羅德·哈代喺《一個數學家的自白》呢本書度話佢所相信嘅美學思維足夠令佢進行純數學嘅研究。

符號、語言同精確性[編輯]

內文: 數學符號
喺現代嘅符號中,簡單嘅表示式可能描繪出複雜嘅概念。呢個圖像就係產生自 cos(y arccos sin|x| + x arcsin cos|y|)。

我哋而家所用嘅大部分數學符號喺16世紀之後先發明出嚟[8]。喺之前,數學以文字嘅形式寫出嚟,咁嘅形式限制咗數學嘅發展。而家嘅符號令到數學對專家嚟講更加易操作,但係成日令啲初學者好驚。佢哋被極度壓縮:少量嘅符號包含住大量嘅訊息。就好似音樂符號咁,而家嘅數學符號有明確嘅文法同埋好難用其他方法書寫嘅訊息編碼。

數學語言亦令初學者覺得困難。例如「或」同「只」呢啲字比用嚟做日常用語嗰陣精確好多。同樣困擾初學者嘅,例如」開放」、「」呢啲詞喺數學入面有特別嘅意思。數學術語亦包括「同胚」、「可積性」等嘅專有名詞。但係使用呢啲特別符號同專有術語係有原因嘅:數學需要高過日常用語嘅精確性。數學家將呢種對語言同邏輯精確性嘅要求稱為「嚴謹」。

嚴謹係數學證明中最重要而且基本嘅一部份。數學家希望佢哋嘅定理依靠公理以系統化嘅推理被推論落去。咁做係為咗避免錯誤嘅「定理」同埋對唔可靠嘅直觀嘅依賴,而咁嘅情形喺歷史上曾經出現過好多次。[9]喺唔同時間,數學中被期許嘅嚴謹程度亦都唔同:希臘人期許仔細嘅論證,但係喺牛頓嘅時代,所使用嘅方法就唔係好嚴謹啦(引發咗第二次數學危機)。牛頓為咗解決問題所做嘅定義到十九世紀先重新用小心嘅分析同嚴謹嘅證明嚟處理。今日,數學家持續咁爭論緊電腦輔助證明嘅嚴謹度。當大量嘅計算好難驗證嗰陣,定理嘅證明好難話係嚴謹嘅。

公理喺傳統嘅思想中係「不證自明嘅真理」,但係呢種諗法係有問題嘅。喺形式上,公理只係一串符號,佢哋只對可以由公理系統導出嘅公式嘅內容有意義。希爾伯特計劃就係想將所有嘅數學放喺堅固嘅公理基礎上面,但係根據哥德爾不完備定理,每個自洽嘅公理系統一定含有冇法證明嘅真命題;所以,所有數學嘅最終公理化係冇可能嘅。然不過數學通常被想像成只係一啲公理化嘅集合論,喺咁嘅意義下,所有數學表述或者證明都可以寫成集合論嘅公式。

數學作為科學[編輯]

高斯

高斯稱數學為「科學之母」。[10]拉丁原文係 Regina Scientiarum,而德文Königin der Wissenschaften(原意:科學嘅皇后),其中對應於科學嘅單字意思係知識。而實際上,科學science喺英文嘅原文內都係呢個意思,而且好明顯數學的確係一門呢個意義下嘅「科學」。將科學限定喺自然科學就係之後嘅事啦。如果認為科學凈係指物理嘅世界嘅話,咁數學,起碼純數學就唔係一門科學。愛因斯坦曾經咁樣描述:「數學定律越同現實有關,就越唔確定;佢哋越係確定,就越係同現實無關。」[11]

好多哲學家相信數學喺經驗上唔具有可否證性[12],所以唔係卡爾·波普爾所定義嘅科學。但係喺1930年代嗰陣,數理邏輯嘅重大進展顯示數學唔可以歸併入邏輯,而且卡爾·波普爾推斷「大部份嘅數學定律,好似物理同生物學咁,係假設演繹嘅:純數學因此變得更加接近將猜測作為假設嘅自然科學,比佢而家睇起嚟更接近。」[13]但係其他思想家,譬如比較出名嘅拉卡托斯,就提供咗一個關於數學本身嘅可否證性版本。

另一種觀點認為某啲科學領域(例如理論物理)係一種數學,佢嘅公理嘗試符合現實。而事實上,理論物理學家齊曼就認為科學係一種公眾知識,所以亦包含數學。[14]喺任何情況下,數學同物理科學嘅好多領域都有相同嘅地方,尤其係喺假設嘅邏輯推論嘅探索。直覺實驗喺數學同科學嘅猜想建構上都扮演住重要角色。實驗數學喺數學中嘅重要性持續咁增加,而且計算英文computation)同模擬喺科學同數學中所扮演嘅角色亦越來越重,彌補咗數學唔用科學方法嘅缺點。史蒂芬·沃爾夫勒姆2002年喺本書《一種新科學》中提出,計算數學應該被視為一個獨立科學領域嚟探索。

數學家對呢種觀點嘅態度好唔一致。有啲研究應用數學嘅數學家覺得佢哋係科學家,而嗰啲研究純數學嘅數學家就通常覺得佢哋係喺一門比較接近邏輯嘅領域內工作,所以基本上係個哲學家。好多數學家認為將佢哋嘅工作稱為科學,係低估咗佢美學方面嘅重要性,同埋佢作為七大博雅教育之一嘅歷史;另外亦有人認為如果忽略佢同科學之間嘅關聯,係假扮睇唔到數學同科學、工程之間嘅聯繫導致咗好多數學上嘅發展呢個事實。呢兩種觀點之間嘅分歧喺哲學上產生咗數學係被創造(例如藝術)定係被發現(例如科學)嘅爭議。大學院系劃分中經常有「科學和數學」系,說明呢兩個領域被睇成同盟而唔係同一。實際上,數學家基本上會喺總體上同科學家合作,但係喺細節上就分開。呢個亦係數學哲學眾多議題嘅其中之一。

數學獎通常同其他科學嘅獎項分開。數學上最出名嘅獎係菲爾茲獎[15][16]喺1936年創立,每四年頒獎一次。佢通常被認為係數學嘅諾貝爾獎。另一個國際上主要嘅獎項係阿貝爾獎,喺2003年創立。兩者都對特定嘅工作主題頒獎,包括數學新領域嘅創新或者已成熟領域中未解決問題嘅解答。著名嘅希爾伯特嘅23個問題,喺1900年由德國數學家大衛·希爾伯特提出。呢一連串問題喺數學家之中有極高嘅名望,而且超過九個問題已經解決咗。另一組新嘅七個重要問題,稱為千禧年大獎難題,喺2000年發表。每一個問題嘅解答都有一百萬美元嘅獎金,只有一個問題(黎曼猜想)同希爾伯特嘅問題重複。

數學嘅各個領域[編輯]

早期嘅數學完全着眼於實際運算嘅需要,中國算盤反映出呢種狀況。

上面講過,數學主要嘅學科首要產生於商業上計算嘅需要、瞭解數字間嘅關係、測量土地同埋預測天文事件。呢四種需要大致同數量、結構、空間、變化(即算術代數幾何分析)等數學上廣泛嘅子領域相關連。除咗呢啲主要嘅關注之外,亦有用嚟探索由數學核心至其他領域之間嘅連結嘅子領域:邏輯集合論數學基礎)、唔同科學嘅經驗上嘅數學(應用數學)、重有較近代嘅不確定性嘅嚴格學習。

數量(數論)[編輯]

數量嘅研究起源於,一開始係熟悉嘅自然數整數同埋被描述喺算術內嘅自然數同整數嘅算術運算。整數更深嘅性質喺數論中有詳細嘅研究,呢個理論包括例如費馬最後定理嘅著名結果。數論重包括兩個被廣泛探討嘅未解問題:孿生質數猜想哥德巴赫猜想

當數系更進一步發展嗰陣,整數被承認為有理數集嘅子集,而有理數包含喺實數中,連續嘅數量就係用實數嚟表示嘅。實數重可以進一步擴充成複數。數嘅進一步擴充可以持續到包含四元數八元數。自然數嘅考慮亦導致超限數嘅產生,佢將計數至無窮呢個概念公式化;另一個研究領域係佢嘅大細,呢個領域導致咗基數同之後對無窮嘅另外一種概念:阿列夫數,佢允許喺無窮集之間比較大細。

1, 2, 3\,\! -2, -1, 0, 1, 2\,\!  -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
自然數 整數 有理數 實數 複數

結構(代數)[編輯]

好多數同函數嘅集合之類嘅數學對象都有內含嘅結構。呢啲對象嘅結構性質喺同其他本身就係呢類對象嘅抽象系統中探討。呢個係代數嘅領域。呢度有個好重要嘅概念:向量,而且推廣到向量空間,並且喺線性代數中研究。向量嘅研究結合咗數學嘅三個基本領域:數量、結構同埋空間。向量分析重將佢擴展到第四個基本領域——變化——之內。

Elliptic curve simple.png Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg
數論 群論 圖論 序理論

空間(幾何)[編輯]

空間嘅研究源自幾何,尤其係歐幾里得幾何三角學重結合咗空間同數,而且包含出名嘅勾股定理。而家對空間嘅研究重推廣到更高維嘅幾何、非歐幾里得幾何(佢喺廣義相對論中扮演核心嘅角色)同埋拓撲學。數同空間喺解析幾何微分幾何代數幾何中都有好重要嘅地位。喺微分幾何中有纖維叢流形上嘅計算等概念。喺代數幾何中有譬如多項式方程解集等代數對象嘅描述,結合咗數同空間嘅概念;亦有拓撲群嘅研究,結合咗結構同空間。李群被用嚟研究空間、結構同變化。喺幾何嘅眾多分支入面,拓撲學可能係二十世紀數學中進展最大嘅領域,並包含有提出咗好耐嘅龐加萊猜想同有爭議嘅四色定理,後者只被電腦證明,而從來冇用人力驗證過(計算量太巨大)。(2002年格里戈里·佩雷爾曼證明咗龐加萊猜想。)

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sine cosine plot.svg Hyperbolic triangle.svg Torus.png Von koch 6 etapes.svg Measure illustration.png
幾何 三角學 微分幾何 拓撲學 分形 測度論

變化(分析)[編輯]

了解同描述變化喺自然科學入面係普遍嘅議題,而微積分更係研究變化嘅有力架生。函數喺呢度誔生,作為描述變化嘅量嘅核心概念。對實數同實變函數嘅嚴格研究產生實分析,而複分析係複數嘅類似領域。黎曼猜想——數學最基本嘅未決問題之——就係用複分析嚟描述。泛函分析研究嘅係函數空間量子力學係泛函分析嘅眾多應用之一。好多問題好自然咁導出數量同佢嘅變化率之間嘅關係,即係微分方程嘅研究內容。自然界嘅好多現象可以用動力系統描述;混沌理論將好多預測唔到嘅系統行為明確化,而且係決定性系統嘅行為。

Integral as region under curve.svg Vectorfield jaredwf.png Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.jpg Lorenz attractor.svg Princ Argument C1.svg
微積分 向量分析 微分方程 動力系統 混沌理論 複分析

離散數學[編輯]

離散數學係指對理論電腦科學最有用嘅數學領域嘅總稱,包括可計算理論計算複雜性理論信息論。可計算理論檢查電腦嘅唔同理論模型嘅極限,包括當今最有力嘅模型——圖靈機。複雜性理論研究可以由電腦做較易處理嘅程度;有啲問題即使理論上可以用電腦解決,但係因為會佔用太多時間或者空間而令到佢嘅解答仍然係實際上唔可行(無論電腦硬件性能有幾好)。最後,信息論關注可以儲存喺特定媒體內嘅資料總量,並產生出壓縮信息熵等概念。

作為一個比較新嘅領域,離散數學有好多基本嘅未解問題。其中最出名嘅係P/NP問題——千禧年大獎難題之一[17]。一般相信呢個問題嘅解答係否定嘅。 [18]

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
組合數學 計算理論 密碼學 圖論

基礎同哲學[編輯]

為咗搞清楚數學基礎,產生咗數理邏輯集合論等領域。

數理邏輯專注將數學置喺一個堅固嘅公理架構上,並研究呢個架構嘅成果。佢係哥德爾不完備定理嘅產地,呢個可能係邏輯中流傳最廣嘅成果。現代邏輯分成遞歸論模型論證明論,而且同理論電腦科學有密切嘅聯繫。

 P \Rightarrow Q \, Venn A intersect B.svg MorphismComposition-01.png
數理邏輯 集合論 範疇論

應用數學[編輯]

應用數學思考將抽象嘅數學工具用喺解答科學工商業同其他領域嘅現實問題。應用數學中嘅一個重要領域係統計學,佢利用概率論做工具並允許對含有隨機成分嘅現象進行描述、分析同預測。大部份嘅實驗、測量同觀察研究都需要對資料嘅統計分析(好多統計學家唔認為自己係數學家,而比較覺得係合作團隊嘅一份子;數學家之間雖然有合作,但係唔係團隊合作)。數值分析研究點樣有效咁用電腦解決大量因為計算量太大而冇可能人工計出嚟嘅數學問題;佢亦包括對計算中捨入誤差或者其他誤差嘅研究。

數學獎[編輯]

菲爾茲獎牌正面
  • 菲爾茲獎,由國際數學聯盟國際數學家大會頒發嘅獎。每四年頒獎一次,頒畀有卓越貢獻嘅年輕數學家,每次最多四人得獎。得獎者要喺嗰年元旦前未滿四十歲。佢係據加拿大數學家約翰·查理斯·菲爾茲嘅要求而設立。菲爾茲獎被視為數學界嘅諾貝爾獎。
  • 沃爾夫獎,由沃爾夫基金會頒發,個基金會1976年喺以色列創立,1978年開始頒獎。創始人沃爾夫係外交家、實業家同慈善家。而沃爾夫數學獎(Wolf Prize in Mathematics)係沃爾夫獎其中一個獎,佢同菲爾茲獎一齊被譽為數學家最高榮譽。

非數學[編輯]

占數術唔係數學。數學嘅證明或者反證都要喺邏輯之中進行,占數術就唔係。

會計學唔係數學,雖然會計師嘅工作就係算術運算。佢哋只需檢查計算準唔準確,證明同反證假設對數學家好重要但係對會計師一啲用都冇。例如高等數學嘅發展唔可以改善簿記嘅精確性同效率,同會計學冇關係。

物理唔係數學,雖然喺歷史上同哲學上佢哋關係密切。

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  1. Jourdain
  2. Eves
  3. Peterson
  4. 牛津英語詞源詞典
  5. 牛津英語詞典
  6. 《周禮·地官司徒·保氏》:「保氏掌諫王惡而養國子以道。乃教之六藝:一曰五禮,二曰六樂,三曰五射,四曰五馭,五曰六書,六曰九數。」東漢嘅鄭玄喺佢嘅《周禮註疏·地官司徒·保氏》中引鄭司農(鄭眾)所講:「九數:方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程式、贏不足、旁要(「九數」亦係《九章算術》嘅九個篇章),今有重差、夕桀、勾股也。」
  7. Sevryuk
  8. 唔同數學符號嘅最早用途(包含更多參考資料)
  9. 無效證明瞭解喺正式證明中出錯嘅一啲簡單例子。四色定理嘅歷史中亦有個被其他數學家接受嘅錯誤證明。
  10. Waltershausen
  11. 愛因斯坦,第28頁。愛因斯坦對問題的解答敘述:"how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" 佢亦關心數學喺自然科學中超出想像嘅有效性.
  12. Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. 1998. 228. 
  13. 波普爾 1995, p. 56
  14. Ziman
  15. Monastyrsky話:「菲爾茲獎毫無疑問係當今數學出有名、最有影響力嘅獎項。
  16. Riehm
  17. 克雷數學研究所 P=NP
  18. P=NP嘅民調顯示2005年大眾相信佢並唔相等。(睇section 5)

參考[編輯]

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網頁[編輯]

睇埋[編輯]