場論

場論係數學入面嘅一個分支，研究場嘅數學性質。場係一個數學結構，入面可以做加、減、乘、除呢四種數學運算。

歷史

場嘅概念，早係阿貝爾同伽羅華研究解方程嗰陣已經隱含哋出現咗。

1871年，戴德金引入咗「體」(德文：Körper) 呢個術語，指嘅係一啲由實數或複數組成嘅集合，呢啲集喺四則運算之下係封閉嘅。

1881年，Kronecker定義咗一樣嘢叫做「Rationalitätsbereich」，大約可以譯做「有理域」，其實用而家嘅術語嚟講，就係有理函數場。

1893年，Weber首次比出一個抽象場嘅定義；同年，Moore引入咗英文 Field 呢個術語。

1910年，Steinitz 發佈咗佢篇論文，名爲 Algebraische Theorie der Körper （德文：場嘅代數理論），呢篇論文影響深遠，佢用公理嚟研究場嘅唔同性質，亦都定義咗好多場論入面重要嘅概念，例如質場、完美場同埋擴張場嘅超越次數等等。

至於伽羅華，雖然係佢嘅年代係無場呢個概念，但係佢被譽爲第一個數學家連接起羣論同場論，而其實，要去到 1928 至 1942 年，先至由 Emil Artin 第一個去詳細研究羣同場之間嘅關係。

介紹

場係代數入面好重要嘅概念，因爲佢推廣咗有理數、實數同埋複數等等數字系統嘅概念。當中最重要嘅係，加法同乘法嘅結合性質、交換性質，同埋乘法分配性質都保留咗。場亦都喺唔同嘅數學領域出現，可以睇吓下面嘅例子。

係抽象代數發展嘅初期，場嘅定義係唔要求乘法交換嘅，而宜家叫「場」嘅數學結構，當時叫做「交換場」或者「有理域」，係宜家嘅用法入面，場係一定交換嘅；符合除咗乘法交換律以外所有性質嘅數學結構叫做除法環，有啲人亦都會叫佢做非交換場。係法文入面，場叫做 corps ，而德文入面，場叫做 Körper。正因爲場嘅德文係 K 字頭，宜家通常都會用 $\mathbb {K}$ 或者 k 嚟表示一個場。場呢個概念最開頭係用嚟證明，五次方或以上嘅多項式係無公式解。

場嘅擴展

内文：場擴展

一個場 k 嘅擴展其實就係一個大啲嘅場 K，個 K 裝住個 k 作爲佢嘅子場。場擴展可以再根據擴展嘅性質再作分類，例如代數擴展就係指大場 K 入面每一個元素都係細場 k 係數嘅多項式嘅解，相反嘅就叫做超越擴展。伽華理論嘅目的就係研究場嘅代數擴展。

場嘅閉包

畀一個場 k，可以定義幾種唔同嘅閉包，例如代數閉包、可分閉包等等。佢哋最核心嘅諗頭都係一樣嘅：假設 P 係一個擴張場嘅性質（例如代數封閉、可分等等），咁 k 嘅一個 P-閉包就係一個場 K，佢係 k 嘅一個擴張場，有 P 呢一個性質，同時佢係最細嘅，意思啫係其他有 P 呢個性質嘅擴張場都裝咗喺 K 入面。例如，假設 P(K) 性質係指「所有喺 K[t] 入面嘅非常數多項式喺 K 入面都有解」，咁 P-閉包其實正正就係代數閉包。一般嚟講， 如果一個場 k 嘅 P-閉包係存在嘅話，佢唔係唯一，但係佢哋全部都係同構嘅，只不過未必得一個同構，甚至無一個首選嘅同構。

應用

向量同埋矩陣嘅定義入面會用到場，而呢兩個都係綫性代數入面基本嘅概念。數論、伽華理論同埋編碼理論都會用到有限場。代數幾何入面，一個幾何物體上面嘅函數場係研究幾何性質好有用嘅工具。而二元場（特徵數係2嘅場）對電腦科學好有用。

睇埋

• 場 (數學)
• 環 (代數)
• 向量空間

攷

• R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6.
• T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27288-2.
• T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Rings, fields and modules: Algebra through practice, Book 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27291-2.