羣 (數學)

深入講羣，請睇羣論

羣（Group）係數學上一種代數結構。一個羣係一個集，喺上面定義一種運算（operation）（一般叫佢做「乘法」，不過唔一定係、多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」），要令到集裏面任意兩個元素進行運算，結果仍然係呢個集嘅元素。羣合符一套群嘅公理，即係結合性質（associative），恆等性質（identity）同可逆性質（invertibility）。

例

整數

整數係人最熟嘅羣，整數嘅集$\Z$，係由數組成。即係0, ±1, ±2, ±3, ±4, ...。

加（符號+）合符羣嘅公理，第一，甲乙整數兩個，甲 + 乙，答案一定係整數，唔會飛出個集，所以有封閉性質（closure）；第二，甲乙丙整數三個，(甲 + 乙) + 丙 = 甲 + (乙 + 丙)，即係話邊個加先加後，答案都係一樣，符合結合性質。第三，整數加法之中，0係恆等元素，甲整數一個，甲 + 0 = 0 + 甲 = 甲。任何整數加0都等於自己，所以合符恆等性質。第四，甲乙整數兩個，甲 + 乙 = 乙 + 甲 = 0，咁甲同乙互為逆元數，亦都係整數，合等可逆性質。甲嘅逆元數會寫做 -甲。

呢個群叫做加法群。

幾何變換

譬如話，喺$\R^n$上有個圖形，對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

注意，呢個群嘅元素唔係數，而係變換（即係映射）；運算唔係加減法，而係映射嘅複合。群只需定義一種運算，而且唔要求交換律成立，所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構（例如域要定義加法、乘法兩種運算）。不過亦有交換群。