冪零元

  呢篇文講環論入面嘅冪零元。想搵群論入面嘅冪零群嘅話，請睇冪零群。

抽像代數入面，話環 R 嘅元 x 係個「冪零元」，即係話佢嘅某個乘冪係零；換言之，存在正整數 n，令到 xⁿ= x.x.....x (自乘 n次) = 0 ，等於環中零元(即環加法嘅單位元)。

例

• 以下係一個矩陣環中嘅例子。3 階矩陣

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

係一個冪零元，因為A³ = 0。

• 喺商環 Z / 9Z 中，同余類 3 係一個冪零元，因為 3² 係同余類 0。

• 如果喺唔交換嘅環 R 入面，a , b滿足 ab=0。咁元素c=ba（如果唔係零嘅話）就係一個冪零元，因為 c²=(ba)²=b(ab)a = 0。喺矩陣當中嘅一個例子如下：

$A_{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;A_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\ .$

於是有 $A_{1}A_{2}=0,\;(A_{2}A_{1})^{2}=0$.

性質

喺一個非平凡嘅交換環當中，冪零元冇可能係乘法嘅可逆元。每個冪零元顯然都係零因子。

在交換環中，所有嘅冪零元組成一個理想，叫做呢個環的詣零根（ Nilradical）。每個素理想都包含所有嘅冪零元，實際上所有素理想嘅交集就係環嘅詣零根。

如果 x 係冪零元，咁 1 − x就係一個可逆元，因為由 xⁿ = 0 可以得出

(1 − x) (1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹) = 1 − xⁿ = 1。

一個域上嘅 n 階方陣係冪零元，if and only if 佢嘅特征多項式等於 $t^{n}$。

睇埋

• 冪零矩陣