冪零元

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呢篇文章講嘅係環論入面嘅冪零元。想搵群論入面嘅冪零群,睇下【冪零群

抽像代數入面,話 R 嘅元 x 係個「冪零元」,即係話佢嘅某個乘冪係零;換言之,存在正整數 n,令到 xn= x.x.....x (自乘 n次) = 0 ,等於環中零元(即環加法嘅單位元)。

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  • 以下係一個矩陣環中嘅例子。3 階矩陣
A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}
係一個冪零元,因為A3 = 0。
  • 商環 Z / 9Z 中,同余類 3 係一個冪零元,因為 32 係同余類 0。
  • 如果喺唔交換嘅環 R 入面,a , b滿足 ab=0。咁元素c=ba(如果唔係零嘅話)就係一個冪零元,因為 c2=(ba)2=b(ab)a = 0。喺矩陣當中嘅一個例子如下:
A_1 = \begin{pmatrix}
0&1\\
0&1
\end{pmatrix}, \;\;
A_2 =\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix} \ .
於是有  A_1A_2=0,\; (A_2A_1)^2=0 .

性質[編輯]

喺一個非平凡嘅交換環當中,冪零元冇可能係乘法嘅可逆元。每個冪零元顯然都係零因子

在交換環中,所有嘅冪零元組成一個理想,叫做呢個環的詣零根Nilradical)。每個素理想都包含所有嘅冪零元,實際上所有素理想嘅交集就係環嘅詣零根

如果 x 係冪零元,咁 1 − x就係一個可逆元,因為由 xn = 0 可以得出

(1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。

一個域上嘅 n 階方陣係冪零元,if and only if 佢嘅特征多項式等於  t^n

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