結合律

結合律：$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

結合律（英文：associative property）係數學入面一個基本嘅代數性質，描述一個二元運算嘅運算次序唔影響結果。譬如：

$(2+3)+4=2+(3+4)=9\,$

$2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24.$

具體嚟講，對於一個集合 $S$ 同一個二元運算 $\cdot$，如果對所有 $a,b,c\in S$，有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$，噉呢個運算就滿足結合律。結合律係代數結構（例如羣、環、半羣）嘅核心性質之一，喺多數學同相關領域，例如電腦科學同物理學，都有廣泛應用。

定義

結合律係指一個二元運算 $\cdot$ 喺集合 $S$ 上面滿足以下條件：

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

其中 $a,b,c$ 係 $S$ 嘅任意元素。簡單嚟講，無論點樣喺運算中加括號，結果都唔會變。例如，先做 $a\cdot b$ 再同 $c$ 運算，或者先做 $b\cdot c$ 再同 $a$ 運算，結果都一樣。呢個性質令我哋就算唔寫括號：$abc$ 個表達式都無任何歧意，確保運算次序靈活，係代數結構嘅重要基礎。

例子

唔同嘅數學運算同結構入面都有結合律，以下係一啲常見例子：

1. 加法：

喺整數、實數或複數嘅加法運算，結合律成立。例如：
$(2+3)+4=5+4=9$，同 $2+(3+4)=2+7=9$。
呢個性質適用於所有阿貝爾羣嘅加法運算。

2. 乘法：

喺整數、實數或複數嘅乘法運算，結合律亦成立。例如：
$(2\times 3)\times 4=6\times 4=24$，同 $2\times (3\times 4)=2\times 12=24$。
矩陣乘法同樣滿足結合律，但要注意矩陣大小要匹配。

3. 函數複合：

喺函數複合運算（記為 $\circ$），結合律成立。例如，對於函數 $f,g,h$，有：
$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$。
呢個性質喺變換羣同程式設計中好重要。

4. 反例：

並非所有運算都滿足結合律。例如，減法唔滿足結合律：
$(5-3)-2=2-2=0$，但 $5-(3-2)=5-1=4$。
除法同向量外積亦唔滿足結合律。

數學性質

結合律同其他代數性質（例如交換律、分配律）有密切關係，但佢哋唔係同一回事。以下係結合律嘅一些數學性質同意義：

• 靈活性：結合律容許喺多個元素嘅運算中自由調整括號位置，簡化計算。例如喺 $a\cdot b\cdot c\cdot d$，可以唔使明確指定運算次序。例如，$(a\cdot (b\cdot (c\cdot d)))=((a\cdot b)\cdot c)\cdot d$。
• 代數結構：結合律係半羣嘅定義要求之一，喺羣、環同域等結構中都係必要條件。例如，任何羣運算（例如矩陣乘法）都必須滿足結合律。

相關概念

• 交換律：另一個二元運算性質，指 $a\cdot b=b\cdot a$。
• 分配律：描述運算之間嘅分配關係，例如 $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$。
• 半羣：一個只要求結合律嘅代數結構。
• 羣論：結合律係羣嘅定義核心。

外部連結

• "Associative". MathWorld (英文). 喺2025-08-07搵到.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
• "Associative Operation - ProofWiki". ProofWiki (英文). 喺2025-08-07搵到.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)