老虎悖論
故仔
[編輯]有個後生仔想向公主求婚。國王提出條件，同後生仔講：「呢度有五度門，你逐度打開佢；其中一度門後面有隻老虎，但係無論點你都估唔到係邊度門。打死隻老虎你就可以同公主結婚。」
後生仔就開始諗，假如老虎喺第五度門，咁當佢將前四度門打開之後都冇發現老虎，咁佢就可以肯定老虎喺第五度門後面，因為國王通過無論點佢都唔會估到老虎喺邊度門後面，如果係咁國王就係錯。所以老虎肯定唔會喺第五度門後面。同樣道理，老虎亦都唔會喺第四道門後面，否則年輕人打開咗三道門之後，只係剩番兩道門，老虎既然唔喺第五度門後面，咁就會喺俾佢估到嘅第四度門後面；如此類推，老虎就會變成唔存在喺任何一道門後面；後生仔呢個時候就唔諗咁多，冒冒失失咁依次序嚟推開啲門，結果老虎喺第二度門後面跳出嚟，咬死咗後生仔。
國王最後睇見之後就話：「都話咗你點都估唔到老虎喺邊度門後面。」
悖論分析
[編輯]呢個推理錯喺邊度好明顯：點解後生仔佢信「估計唔到」，但係就唔信「真係有老虎」呢？
點解問題改成「五度門」之後，會變得複雜咗？因為門後面變成「可能有老虎，亦都可能冇老虎」。但係無論如何，「如果後生仔嘅推理成立」，咁樣就算國王將老虎放喺第五度門後面，都會係「估唔到」，學者爭論嘅重點只係在於：呢個推理究竟錯喺第幾步？
唔同嘅主張：
- 主張錯喺第一步
- 如果第一步係啱嘅，咁樣後面幾步點解會係錯嘅呢？所以一開始就已經錯咗。
- 主張錯喺第二步
- 後生仔最後信「冇老虎」。但係國王並唔會預知道後生仔點諗，所以的確唔可能將老虎放喺第五度門。如果後生仔信「一定有老虎」，咁樣係開咗頭四度門老虎都冇出現之後，第五度門後面嘅老虎就會變成「估得到」。
- 既然老虎係喺第五度門嘅話，佢一定係「估得到」，咁樣當已經開咗三度空門嗰陣時，實際情況係點樣？寫成邏輯式子就係：前提一、老虎係估唔到嘅。前提二、老虎如果喺第五度門嘅時候，係可以估到。前提三、老虎唔喺第五度門時，就一定係喺第四度門。前提四、老虎如果喺第四度門，係可以估得到。結論：前提互相矛盾。
- 呢個時候嘅邏輯推理入面，既然前提係互相矛盾，咁必定有一個以上唔成立嘅地方，所以可能性就會係以下四個其中之一、或者係更多未諗到出嚟嘅可能性：
- 一、老虎可以預料得到嘅。
- 二、老虎如果喺第五度門，係預料唔到嘅。
- 三、老虎唔喺第五度門嗰陣時，唔代表佢一定係喺第四度門。
- 四、老虎如果喺第四度門時，係預料唔到嘅。
二同四本身就係矛盾命題，唔考慮；三會導致老虎變成薛定諤的貓，亦都即係既存在亦唔存在嘅狀態（後生仔將老虎往前門推係錯嘅，因為前提中包含「已經開咗三度空門」）。所以可能性只有一個：老虎可預料。但若果老虎係可以預料得到，咁樣就代表國王講大話，如果國王可能講大話，咁樣老虎亦都真係有可能唔喺度。
- 呢個時候正確嘅結論係：國王一定講緊大話，但佢嘅大話可能係「老虎可預料」，亦都可能係「根本冇老虎」，後生仔只係偏心於一個可能性，結果就只會反過嚟幫國王完成佢嘅大話。
- 主張錯喺最後一步
- 如果「估唔到」並唔係一種保證，而只係意味住「相當高嘅機率」，「有老虎」先至係保證，咁成個情況就會唔同晒。可以列成以下嘅狀況：
- 如果後生仔連估五次「老虎唔係度」，不可預料率會係100%，即係最壞嘅狀況。
- 如果後生仔連估五次「老虎係度」，咁就應該將不可預料率一樣視為100%。假設國王隨便放，因為平均估錯次數係兩次，亦即估錯一次要加不可預料率 50% 先至公平。
- 假設國王隨便咁放隻老虎，呢個時候後生仔採用嘅策略，以：
- 先兩次唔估，再連續估老虎喺：成功率0、0、100、50、0，平均 30 最高分
- 先三次唔估，再連續估老虎喺：成功率0、0、0、100、50，平均都係 30 最高分
- 但係以上兩種高分解，頭兩度門都係安全門，必須混合下列解答靈活運用
- 如果第一次就估老虎喺度：成功率100、-50、-50、50、0，平均只有 10 分
- 如果第二次就估老虎喺度：成功率0、100、50、0、-50，平均都有 20 分
- 為咗方便計算，假設後生仔平均運用呢四種策略，綜合以上，老虎喺每度門嘅平均不可預料率就係 75%、87.5%、75%、50%、100%
- 好明顯呢個時候國王嘅對應策略，如果將老虎放喺失分最低嘅第五度門，可能會俾後生仔亂咁估嘅情況下估中，所以將老虎放喺失分第二低嘅第二度門會係最好嘅選擇，只要將後生仔估中嘅機率保持喺 20% 以下，就都可以理直氣壯咁話係有好高嘅不可預料率。
分析結果
[編輯]- 呢個只係一個初步嘅計算。更精確嘅計算要用到博弈論。
- 後生仔其實係錯喺最後一步：佢應該從「老虎唔存在」呢個矛盾嘅結論嚟導出國王講嘅「估計唔到」其實係指機率，再喺機會率上推測國王到底將老虎放喺第幾度門。
- 主張錯在邏輯語意：一個科學事實，海森堡測不準原理可以用嚟反駁後生仔嘅推理。亦即係話假設老虎喺第五度門後面，當後生仔推開咗四度門之後，如果質疑第五度門後面嘅老虎係「可以估計得到」，國王可以答辯話：「我話老虎不可預料，係喺你開門之前」，意即開門（測量）呢個動作改變咗受測物嘅性質「不可預料」。如果預計國王會咁樣答辯，咁樣後生仔嘅五步推理全部都係錯嘅。但呢種講法亦有反對者，佢哋認為呢種答辯雖然係有科學根據、但都要後生仔有一定程度嘅科學知識先至明，唔係嘅話國王就會變成秀才遇着兵、有理講唔清。
相同例子
[編輯]- 突擊測驗
阿 SIR 宣布下星期一至五其中一日會舉行突擊測驗。學生認為根本就唔存在突擊測驗。若果去到星期四都重未舉行測驗，咁樣就即係星期五一定會舉行，因為咁樣係預計得到，咁樣就唔算係一個突擊測驗，所以星期五亦都唔會舉行。若果星期三重未舉行，而星期五又唔會舉行，星期四就會舉行……如此類推，形成「阿 SIR 根本就唔會進行突擊測驗」嘅錯誤結論。