阿貝爾範疇

阿貝爾範疇(abelian category)係以下各範疇

• 阿貝爾羣組成嘅範疇
• 固定環上嘅模組成嘅範疇
• 固定空間上阿貝爾羣層組成嘅範疇

嘅共同抽象化、公理化，保存住啲重要嘅結構，例如正合序列。

公理

設 C 係一範疇。

• A1. Hom_C(X,Y)被賦與一阿貝爾羣結構（「和 +」）；
  • C 中嘅態射同有雙加性 (biadditive)，
• A2. C中存在（喺惟一態射之內惟一）零個體(zero object) ０，（即：０同時係始個體同終個體）
• A3. 每對個體 X、Y 都存在 Z，既係 X同Y 嘅直和又係真積，換言之，

Z--->X  Z<----X
|   |  |    |
Y--->0  Y<----0

都交換。

• A4. 每態射 f: X-->Y，存在「正則分解」(canonical decomposition):

  K -->X--->I--->Y--->L

  ; 其中 i j =f， K 係 f 嘅核(kernel)，L 係 f 嘅逆核(co-kernel)； I 既係K-->X 嘅逆核，亦係 Y-->L 嘅核。

註

• S. I. Gelfand, Yu. I. Manin （著）, Kostikin/Shafarevich (編）: Algebra V (係作者嘅Methods in Homological Algebra嘅精簡本）, ISBN 3540533730