隨機羣

喺數學入面，隨機羣係一啲用概率性方法構作出來嘅羣，呢個概念係由Misha Gromov引入，想用嚟答一啲類似「一個典型嘅羣係點嘅樣架？」噉嘅問題。

結果啲人發現，如果揀好咗「隨機」嘅定義嘅話，隨機羣嘅性質係好兩極嘅，即係話，對於某一堆性質，大部分嘅隨機羣都會符合，另一方面，有另一啲嘅性質係大部分嘅隨機羣都唔符合嘅。例如，一個隨機羣好大機會係一個雙曲羣，所以啲人就可以話：「大部分嘅羣都係雙曲羣」。

定義

隨機羣嘅定義取決於所用嘅概率模型，唔同嘅模型可以用來定義唔同但係有關係嘅隨機羣。

所有嘅羣都可以用group presentation嚟表示，即係話，用一拃生成元同關係嚟準確描述個羣。例如，交換羣$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$可以用兩個生成元$a$同$b$同一個關係$ab=ba$（或者$aba^{-1}b^{-1}=1$）嚟表示，而隨機羣主要嘅諗法就係，首先固定一個數量嘅羣生成元$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$，然後再揀一拃關係$r_{1}=1,r_{2}=1,\ldots ,r_{k}=1$，當中每一個$r_{j}$都係用啲$a_{i}$同佢哋嘅逆元$a_{i}^{-1}$串出來嘅隨機生字。去揀一個隨機羣嘅模型嘅意思就係講清楚$m,k$同埋啲隨機關係$r_{j}$係點樣揀出嚟。

揀好嗮以上嘅嘢之後，隨機羣$G$就係用平時group presentation嘅方法準確定義出嚟，即係話：$G$係「$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$生成嘅自由羣」對「$r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$呢拃關係生成嘅正常子羣」嘅商：

$G=F_{m}/\langle r_{1},\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}\rangle .$

隨機羣嘅「少關係模型」

隨機羣最簡單嘅模型就係「少關係模型」（few-relator model）。係呢個模型入面，首先揀定生成元嘅數量$m\geq 2$同埋關係嘅數量$k\geq 1$，之後再揀多一個參數$\ell$（關係嘅長度），呢個$\ell$通常（對$m$同$k$嚟講）係好大嘅。

之後就到揀關係嘅環節，首先搵嗮所有「長度唔超過$\ell$，用$a_{i}$同逆元$a_{i}^{-1}$串出來嘅簡約字」出嚟，再均衡同獨立噉揀$k$個出嚟。

呢個模有趣嘅地方係，如果將$\ell$趨向無限，噉一個隨機羣係雙曲同埋符合一啲有趣嘅條件嘅概率會趨向$1$。

備註

除咗以上講嘅簡單模型之外，仲有其他嘅隨機羣模型。

例如有一個叫密度模型（density model），關係嘅數量可以隨住關係嘅長度增加而上升，呢個時候就會有一個急劇嘅「相變」現象：如果關係嘅數量多過某一個閥值嘅話，隨機羣就會「崩潰」，因爲有太多關係，令到任何兩個字都係一樣嘅；而如果關係嘅數量低過閥值嘅話，個隨機羣就會係無限同埋雙曲嘅。

隨機羣嘅構作亦都可以加入其他嘅條件，令到佢哋符合特別嘅性質，例如，Gromov就用過呢個方法去整反例去推翻Baum-Connes猜想嘅一個擴展。

參考

• Mikhail Gromov. Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75–263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Mikhail Gromov. "Random walk in random groups." Geom. Funct. Anal., vol. 13 (2003), 73–146.