隨機羣

喺數學入面，隨機羣係一啲用概率性方法構作出來嘅羣，呢個概念係由Misha Gromov引入，想用嚟答一啲類似「一個典型嘅羣係點嘅樣架？」噉嘅問題。

結果啲人發現，如果揀好咗「隨機」嘅定義嘅話，隨機羣嘅性質係好兩極嘅，即係話，對於某一堆性質，大部分嘅隨機羣都會符合，另一方面，有另一啲嘅性質係大部分嘅隨機羣都唔符合嘅。例如，一個隨機羣好大機會係一個雙曲羣，所以啲人就可以話：「大部分嘅羣都係雙曲羣」。

定義

隨機羣嘅定義取決於所用嘅概率模型，唔同嘅模型可以用來定義唔同但係有關係嘅隨機羣。

所有嘅羣都可以用group presentation嚟表示，即係話，用一拃生成元同關係嚟準確描述個羣。例如，交換羣 $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 可以用兩個生成元 $a$ 同 $b$ 同一個關係 $ab=ba$ （或者 $aba^{-1}b^{-1}=1$ ）嚟表示，而隨機羣主要嘅諗法就係，首先固定一個數量嘅羣生成元 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$ ，然後再揀一拃關係 $r_{1}=1,r_{2}=1,\ldots ,r_{k}=1$ ，當中每一個 $r_{j}$ 都係用啲 $a_{i}$ 同佢哋嘅逆元 $a_{i}^{-1}$ 串出來嘅隨機生字。去揀一個隨機羣嘅模型嘅意思就係講清楚 $m,k$ 同埋啲隨機關係 $r_{j}$ 係點樣揀出嚟。

揀好嗮以上嘅嘢之後，隨機羣 $G$ 就係用平時group presentation嘅方法準確定義出嚟，即係話： $G$ 係「 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$ 生成嘅自由羣」對「 $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ 呢拃關係生成嘅正常子羣」嘅商：

G=F_{m}/\langle r_{1},\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}\rangle .

隨機羣嘅「少關係模型」

隨機羣最簡單嘅模型就係「少關係模型」（few-relator model）。係呢個模型入面，首先揀定生成元嘅數量 $m\geq 2$ 同埋關係嘅數量 $k\geq 1$ ，之後再揀多一個參數 $\ell$ （關係嘅長度），呢個 $\ell$ 通常（對 $m$ 同 $k$ 嚟講）係好大嘅。

之後就到揀關係嘅環節，首先搵嗮所有「長度唔超過 $\ell$ ，用 $a_{i}$ 同逆元 $a_{i}^{-1}$ 串出來嘅簡約字」出嚟，再均衡同獨立噉揀 $k$ 個出嚟。

呢個模有趣嘅地方係，如果將 $\ell$ 趨向無限，噉一個隨機羣係雙曲同埋符合一啲有趣嘅條件嘅概率會趨向 $1$ 。

備註

除咗以上講嘅簡單模型之外，仲有其他嘅隨機羣模型。

例如有一個叫密度模型（density model），關係嘅數量可以隨住關係嘅長度增加而上升，呢個時候就會有一個急劇嘅「相變」現象：如果關係嘅數量多過某一個閥值嘅話，隨機羣就會「崩潰」，因爲有太多關係，令到任何兩個字都係一樣嘅；而如果關係嘅數量低過閥值嘅話，個隨機羣就會係無限同埋雙曲嘅。

隨機羣嘅構作亦都可以加入其他嘅條件，令到佢哋符合特別嘅性質，例如，Gromov就用過呢個方法去整反例去推翻Baum-Connes猜想嘅一個擴展^{[未記出處或冇根據]}。

參考

Mikhail Gromov. Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75–263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
Mikhail Gromov. "Random walk in random groups." Geom. Funct. Anal., vol. 13 (2003), 73–146.